Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de
usando a derivada de logaritmo. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que têm variáveis no expoente. Para isso, vamos usar a técnica da diferenciação logarítmica, que é muito útil quando a função tem a forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da função para facilitar a derivação. Assim, temos:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto para derivar
:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas obtidas:
Para isolarmos
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Simplificando a fração:
Então, a expressão final fica:
Resposta
A derivada de
é:
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Calcule a integral
Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
.
Explique o significado de
O que você pode dizer sobre o limite de
quando
tende a 1?
Usando a derivada de logaritmo, calcule
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