Calcule a integral. integral0^3(x^2+e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de 0 a 3 da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, onde vamos precisar usar as regras de integração para funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais. Assim, temos:
integral0^3 (x^2 + e^x) dx = integral0^3 x^2 dx + integral0^3 e^x dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Começando com integral x^2 dx = x^33 + C :
A regra para integrar é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então,

Passo 4

Em seguida, vamos integrar integral e^x dx = e^x + C :
A integral de é simplesmente , já que a derivada de é . Assim,

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de 0 a 3 para cada uma das integrais que encontramos:
Para x^33 |0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 - 0 = 9 :
e^x |0^3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1
Para :

Resposta

Somando as duas partes, a integral definida é:
9 + e^3 - 1 = 8 + e^3
Portanto, o valor da integral é .

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