Dê exemplos de sequências xnn in N e ynn in N, de tal modo que: lim n infty xnyn=+infty.

Passo 1

Ok, vamos lá! Você quer exemplos de duas sequências, chamadas xn e yn, de forma que, quando a gente divide xn por yn e deixa n crescer para o infinito, o resultado seja o infinito positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e limites. Precisaremos escolher sequências onde xn cresce muito mais rápido que yn.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma sequência simples para yn. Vamos dizer que yn = n. Isso significa que cada termo da sequência yn é igual a n, ou seja, y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3, e assim por diante. Essa é uma sequência linear que cresce à medida que n aumenta.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma sequência para xn que cresça mais rápido que yn. Uma boa opção é usar uma sequência quadrática, como xn = n^2. Aqui, cada termo de xn é o quadrado de n, então x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9, etc. Isso faz com que xn cresça muito mais rápido do que yn.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da razão xnyn conforme n tende ao infinito. Substituindo as sequências que escolhemos:
limn to infty xnyn = limn to infty n^2n = limn to infty n = +infty
Isso mostra que, à medida que n cresce, a razão xnyn também cresce sem limite, indo para o infinito positivo.

Resposta

Um exemplo é escolher xn = n^2 e yn = n. Assim, lim n infty xnyn = +infty.

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