Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .

Passo 1

Ok, vamos lá! Você quer exemplos de duas sequências, chamadas e , de forma que, quando a gente divide por e deixa crescer para o infinito, o resultado seja o infinito positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e limites. Precisaremos escolher sequências onde cresce muito mais rápido que .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma sequência simples para . Vamos dizer que . Isso significa que cada termo da sequência é igual a , ou seja, , , , e assim por diante. Essa é uma sequência linear que cresce à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma sequência para que cresça mais rápido que . Uma boa opção é usar uma sequência quadrática, como . Aqui, cada termo de é o quadrado de , então , , , etc. Isso faz com que cresça muito mais rápido do que .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da razão conforme tende ao infinito. Substituindo as sequências que escolhemos:
Isso mostra que, à medida que cresce, a razão também cresce sem limite, indo para o infinito positivo.

Resposta

Um exemplo é escolher e . Assim, .

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