Dê exemplos de sequências
e
, de tal modo que:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Você quer exemplos de duas sequências, chamadas
e
, de forma que, quando a gente divide
por
e deixa
crescer para o infinito, o resultado seja o infinito positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e limites. Precisaremos escolher sequências onde
cresce muito mais rápido que
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma sequência simples para
. Vamos dizer que
. Isso significa que cada termo da sequência
é igual a
, ou seja,
,
,
, e assim por diante. Essa é uma sequência linear que cresce à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma sequência para
que cresça mais rápido que
. Uma boa opção é usar uma sequência quadrática, como
. Aqui, cada termo de
é o quadrado de
, então
,
,
, etc. Isso faz com que
cresça muito mais rápido do que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da razão
conforme
tende ao infinito. Substituindo as sequências que escolhemos:
Isso mostra que, à medida que
cresce, a razão
também cresce sem limite, indo para o infinito positivo.
Resposta
Um exemplo é escolher
e
. Assim,
.
Exercícios relacionados
Mostre, pela definição, que
é uma Sequência de Cauchy.
Considere que
e
sejam sequências convergentes. Defina as sequências
e
, de forma que
e
. Mostre que as sequências
e
são convergentes.
Calcule a integral.
Qual a relação entre funções vetoriais e curvas espaciais?