(a) Escreva as fórmulas para os vetores normal e binormal de uma curva lisa espacial .
(b) O que é o plano normal de uma curva em um ponto? E o plano osculador? O que é o círculo osculador?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva lisa no espaço, representada por . Precisamos escrever as fórmulas dos vetores normal e binormal dessa curva. Além disso, vamos explorar o que são o plano normal, o plano osculador e o círculo osculador em um ponto da curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, como vetores tangente, normal, binormal e curvatura.

Passo 2

Vamos começar definindo o vetor tangente da curva, que indica a direção da curva no ponto . Ele é dado por:
Aqui, é a derivada da posição em relação ao parâmetro , e é o comprimento desse vetor.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o vetor normal , que aponta na direção da curvatura da curva. Para isso, derivamos o vetor tangente em relação a :
Aqui, é a curvatura da curva no ponto . Rearranjando para encontrar , temos:
Isso normaliza a derivada do vetor tangente, garantindo que seja um vetor unitário.

Passo 4

Agora, vamos definir o vetor binormal , que é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal. Ele é obtido pelo produto vetorial desses dois vetores:
Esse vetor completa o trio de bases que descreve a orientação da curva no espaço.

Passo 5

Com os vetores tangente, normal e binormal definidos, podemos falar sobre o plano normal. O plano normal em um ponto da curva é aquele que contém os vetores normal e binormal . Esse plano é perpendicular ao vetor tangente e “aponta” na direção da curvatura da curva.

Passo 6

O plano osculador é o plano formado pelos vetores tangente e normal . Esse plano “encosta” na curva de forma que melhor aproxima a curva naquele ponto, fornecendo uma boa representação da sua direção e curvatura local.

Passo 7

Por fim, o círculo osculador é o círculo que melhor se ajusta à curva no ponto considerado. Ele está contido no plano osculador e possui o mesmo vetor tangente e a mesma curvatura da curva naquele ponto. Esse círculo serve como uma aproximação local da curva, destacando sua curvatura naquele ponto específico.

Resposta

(a) Os vetores normal e binormal de uma curva lisa espacial são dados por:
(b) O plano normal de uma curva em um ponto é o plano que contém os vetores normal e binormal , sendo perpendicular ao vetor tangente . O plano osculador é o plano formado pelos vetores tangente e normal e , que melhor aproxima a curva naquele ponto. O círculo osculador é o círculo que melhor se ajusta à curva no ponto considerado, estando contido no plano osculador e compartilhando a curvatura e o vetor tangente da curva naquele ponto.

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