Mostre, pela definição, que é uma Sequência de Cauchy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando a definição, que a sequência é uma Sequência de Cauchy. Isso está relacionado ao estudo de sequências em análise matemática, mais especificamente sobre convergência. Para resolver, vamos usar a definição de Sequência de Cauchy e verificar se a nossa sequência atende aos critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Sequência de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo , existe um número natural tal que, para todos os números naturais , a distância entre e é menor que . Ou seja:
Isso basicamente significa que, a partir de um certo ponto na sequência, os termos ficam cada vez mais próximos uns dos outros.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa sequência . Primeiro, vamos calcular a diferença entre dois termos quaisquer e :
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Para simplificar, primeiro colocamos as frações com o mesmo denominador:
Passo 5
Queremos que essa diferença seja menor que . Então, queremos:
Para garantir isso, precisamos encontrar um tal que, para todo , a desigualdade acima seja verdadeira.
Passo 6
Observando , percebemos que, principalmente, quando e são grandes, os denominadores também são grandes, fazendo com que a fração seja pequena. Para simplificar, podemos assumir que sem perda de generalidade, então .
Passo 7
Vamos estimar . Então, se conseguirmos fazer , estaremos garantindo que .
Passo 8
Para que , basta que . Então, podemos escolher como sendo o menor inteiro maior que , ou seja, .
Passo 9
Com esse , para todo , temos , garantindo que . Assim, a sequência satisfaz a definição de Sequência de Cauchy.
Resposta
Portanto, concluímos que a sequência é uma Sequência de Cauchy.