Calcule a integral.
integral0^1 x(raiz[2]x+raiz[4]x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 x(raizx + raiz[4]x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem potências de x. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da potência na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
x(raizx + raiz[4]x) = x cdot x^1/2 + x cdot x^1/4
Sabemos que x^a cdot x^b = x^a+b, então:
x cdot x^1/2 = x^1 + 1/2 = x^3/2
E
x cdot x^1/4 = x^1 + 1/4 = x^5/4
Portanto, a integral fica:
integral0^1 ( x^3/2 + x^5/4 ) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar termo por termo usando a regra da potência para integrais, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso a cada termo:
  1. Para x^3/2:
integral x^3/2 , dx = x^5/25/2 = 25x^5/2
  1. Para x^5/4:
integral x^5/4 , dx = x^9/49/4 = 49x^9/4
Portanto, a integral se torna:
25x^5/2 + 49x^9/4 gr|0^1

Passo 4

Agora, vamos avaliar a expressão entre os limites de 0 e 1:
  1. Para x = 1:
25(1)^5/2 + 49(1)^9/4 = 25 + 49
  1. Para x = 0:
25(0)^5/2 + 49(0)^9/4 = 0 + 0 = 0
Subtraindo, temos:
( 25 + 49 ) - 0 = 25 + 49

Passo 5

Vamos somar as frações:
Para somar 25 e 49, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) de 5 e 9, que é 45.
25 = 1845 e 49 = 2045
Então:
1845 + 2045 = 3845

Resposta

O valor da integral é 3845.

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