Calcule a integral.
integral1 / raiz3^raiz3 81+x^2 d x Resposta: 4 pi / 3.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem a função , cuja antiderivada é a função arco-tangente ( ). Para resolver, vamos usar a propriedade das integrais definidas e a fórmula da antiderivada.

Passo 2

Primeiro, identificamos a antiderivada da função integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C . Sabemos que:
integral 81+x^2 , dx = 8 arctan(x) + C
onde é a constante de integração. No nosso caso, temos um fator de 8 na frente da fração, então precisamos multiplicar a antiderivada por 8:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite avaliar a integral definida utilizando a antiderivada encontrada. Assim, substituímos os limites de integração na antiderivada:
8 arctan(raiz3) - 8 arctan(1raiz3)

Passo 4

Conhecendo os valores das funções arctan(raiz3) = pi3 em pontos específicos:
arctan(1raiz3) = pi6
8 (pi3) - 8 (pi6) = 8pi3 - 8pi6 = 8pi3 - 4pi3 = 4pi3
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

4pi3

Exercícios relacionados