Calcule a integral.
Resposta:
.
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem a função
, cuja antiderivada é a função arco-tangente (
). Para resolver, vamos usar a propriedade das integrais definidas e a fórmula da antiderivada.
Passo 2
Primeiro, identificamos a antiderivada da função
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração. No nosso caso, temos um fator de 8 na frente da fração, então precisamos multiplicar a antiderivada por 8:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite avaliar a integral definida utilizando a antiderivada encontrada. Assim, substituímos os limites de integração na antiderivada:
Passo 4
Conhecendo os valores das funções
em pontos específicos:
Substituindo esses valores na expressão: