e a função dada por g(x)=integral0^x f(t) d t.
Ache uma expressão para g(x) similar àquela para f(x).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma expressão para a função , que é a integral da função de 0 até . A função é definida por partes, então vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas e funções por partes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função f(x)=rcl 0 & se & x<0 x & se & 0 <= x <= 1 2-x & se & 1 < x <= 2 0 & se & x>2 . Ela é definida assim:
Isso significa que muda de expressão dependendo do intervalo de .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que . Para encontrar , precisamos calcular essa integral para diferentes valores de . Vamos dividir em casos conforme os intervalos de .
Passo 4
Caso 1: g(x) = 0
Aqui, como estamos integrando de 0 até e é menor que 0, a função nesse intervalo. Então:
Passo 5
Caso 2: g(x) = integral0^x t , dt = [ t^22 ]0^x = x^22
Nesse intervalo, . Então a integral fica:
Passo 6
Caso 3: g(x) = integral0^1 t , dt + integral1^x (2 - t) , dt