Considere
e a função dada por .
Ache uma expressão para similar àquela para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma expressão para a função , que é a integral da função de 0 até . A função é definida por partes, então vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas e funções por partes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida assim:
Isso significa que muda de expressão dependendo do intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Para encontrar , precisamos calcular essa integral para diferentes valores de . Vamos dividir em casos conforme os intervalos de .

Passo 4

Caso 1:
Aqui, como estamos integrando de 0 até e é menor que 0, a função nesse intervalo. Então:

Passo 5

Caso 2:
Nesse intervalo, . Então a integral fica:

Passo 6

Caso 3:
Aqui, precisamos considerar que de 0 a 1, , e de 1 até , . Então:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Passo 7

Caso 4:
Para , a função além de . Então:

Resposta

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Considere
e a função dada por .
Onde é derivável? Onde é derivável.
Calcule a integral.
Resposta: .
Calcule o limite, se existir.
h)
Calcule o limite, se existir.
n)