Considere
f(x)=rcl 0 & se & x<0 x & se & 0 <= x <= 1 2-x & se & 12
e a função dada por g(x)=integral0^x f(t) d t.
Ache uma expressão para g(x) similar àquela para f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma expressão para a função , que é a integral da função de 0 até . A função é definida por partes, então vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas e funções por partes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x)=rcl 0 & se & x<0 x & se & 0 <= x <= 1 2-x & se & 1 < x <= 2 0 & se & x>2 . Ela é definida assim:
Isso significa que muda de expressão dependendo do intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Para encontrar , precisamos calcular essa integral para diferentes valores de . Vamos dividir em casos conforme os intervalos de .

Passo 4

Caso 1: g(x) = 0
Aqui, como estamos integrando de 0 até e é menor que 0, a função nesse intervalo. Então:

Passo 5

Caso 2: g(x) = integral0^x t , dt = [ t^22 ]0^x = x^22
Nesse intervalo, . Então a integral fica:

Passo 6

Caso 3: g(x) = integral0^1 t , dt + integral1^x (2 - t) , dt
Aqui, precisamos considerar que de 0 a 1, integral0^1 t , dt = 1^22 = 12 , e de 1 até integral1^x (2 - t) , dt = [ 2t - t^22 ]1^x = (2x - x^22) - (2(1) - 1^22) = 2x - x^22 - 2 + 12 = 2x - x^22 - 32 , g(x) = 12 + 2x - x^22 - 32 = 2x - x^22 - 1 . Então:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Passo 7

Caso 4: g(x) = integral0^1 t , dt + integral1^2 (2 - t) , dt + integral2^x 0 , dt = 12 + (2(2) - 2^22 - 2 + 12) + 0 = 12 + (4 - 2 - 2 + 12) = 12 + 12 = 1
Para , a função além de . Então:

Resposta

g(x)=rcl 0 & se & x<0 x^22 & se & 0 <= x <= 1 2x - x^22 -1 & se & 1 < x <= 2 1 & se & x>2

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