Dada a função
. Encontre: Classifique os pontos críticos (Valor:
);
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas. Pra resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da curva é zero (os chamados pontos críticos).
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam a primeira derivada igual a zero, ou seja, resolver:
Primeiro, podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos para ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada da função.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: ponto de mínimo; -
: ponto de máximo; -
: ponto de mínimo.
Exercícios relacionados
Dada a função
. Encontre: Os pontos críticos (Valor: 10%);
Calcule a derivada das funções:
Para produzir
e uma receita de
, onde
é preço pelo qual são vendidas
Calcule a integral.
Resposta:
.