Dada a função . Encontre: Classifique os pontos críticos (Valor: );

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas. Pra resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da curva é zero (os chamados pontos críticos).
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que tornam a primeira derivada igual a zero, ou seja, resolver:
Primeiro, podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos para ver se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada da função.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.
  1. Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : ponto de mínimo;
  • : ponto de máximo;
  • : ponto de mínimo.

Exercícios relacionados

Dada a função . Encontre: Os pontos críticos (Valor: 10%);
Calcule a derivada das funções:
Para produzir
e uma receita de , onde é preço pelo qual são vendidas
Calcule a integral.
Resposta: .