Considere
e a função dada por .
Onde é derivável? Onde é derivável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: , que é definida por partes, e . O exercício quer saber onde cada uma dessas funções é derivável. Para resolver isso, vamos precisar mexer com cálculo de derivadas, funções contínuas e entender como funções por partes se comportam. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função :
Para saber onde é derivável, precisamos checar dois pontos principais:
  1. Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto.
  2. Derivadas laterais iguais: As derivadas pela esquerda e pela direita do ponto precisam ser iguais.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de nos pontos onde a definição muda: , e .
  • Em :
    • Limite pela esquerda:
    • Limite pela direita:
    • Valor da função:
    • Como os limites coincidem com o valor da função, é contínua em .
  • Em :
    • Limite pela esquerda:
    • Limite pela direita:
    • Valor da função:
    • é contínua em .
  • Em :
    • Limite pela esquerda:
    • Limite pela direita:
    • Valor da função:
    • é contínua em .

Passo 4

Agora que vimos que é contínua em todos esses pontos, vamos ver a derivabilidade. A função é derivável onde ela é suave, ou seja, onde não tem “quedas” ou “pontas”.
Vamos calcular a derivada de em cada intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, vamos olhar para os pontos de mudança: , e .
  • Em :
    • Derivada pela esquerda:
    • Derivada pela direita:
    • Como são diferentes, não é derivável em .
  • Em :
    • Derivada pela esquerda:
    • Derivada pela direita:
    • São diferentes, então não é derivável em .
  • Em :
    • Derivada pela esquerda:
    • Derivada pela direita:
    • Diferentes novamente, então não é derivável em .

Passo 5

Agora vamos analisar a função . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se é contínua em um intervalo, então é derivável nesse intervalo e a derivada de é , ou seja, .
Como vimos que é contínua em todo o domínio, será derivável em todo lugar. Mesmo nos pontos onde não é derivável, como , e , a função ainda é derivável porque a integral “suaviza” essas pontas.

Passo 6

Resumindo tudo:
  • ** ** não é derivável em , e .
  • ** ** é derivável para todo , ou seja, em todos os números reais.

Resposta

A função não é derivável em , e . Já a função é derivável para todo .

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Calcule a integral.
Resposta: .
Para produzir
e uma receita de , onde é preço pelo qual são vendidas
Considere
e a função dada por .
Ache uma expressão para similar àquela para .
Calcule o limite, se existir.
h)