e a função dada por .
Onde é derivável? Onde é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: , que é definida por partes, e . O exercício quer saber onde cada uma dessas funções é derivável. Para resolver isso, vamos precisar mexer com cálculo de derivadas, funções contínuas e entender como funções por partes se comportam. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função :
Para saber onde é derivável, precisamos checar dois pontos principais:
Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto.
Derivadas laterais iguais: As derivadas pela esquerda e pela direita do ponto precisam ser iguais.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de nos pontos onde a definição muda: , e .
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Valor da função:
Como os limites coincidem com o valor da função, é contínua em .
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Valor da função:
é contínua em .
Em :
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Valor da função:
é contínua em .
Passo 4
Agora que vimos que é contínua em todos esses pontos, vamos ver a derivabilidade. A função é derivável onde ela é suave, ou seja, onde não tem “quedas” ou “pontas”.
Vamos calcular a derivada de em cada intervalo:
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora, vamos olhar para os pontos de mudança: , e .
Em :
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Como são diferentes, não é derivável em .
Em :
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
São diferentes, então não é derivável em .
Em :
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Diferentes novamente, então não é derivável em .
Passo 5
Agora vamos analisar a função . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se é contínua em um intervalo, então é derivável nesse intervalo e a derivada de é , ou seja, .
Como vimos que é contínua em todo o domínio, será derivável em todo lugar. Mesmo nos pontos onde não é derivável, como , e , a função ainda é derivável porque a integral “suaviza” essas pontas.
Passo 6
Resumindo tudo:
** ** não é derivável em , e .
** ** é derivável para todo , ou seja, em todos os números reais.
Resposta
A função não é derivável em , e . Já a função é derivável para todo .