Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos:
, com
a fronteira de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
onde
é a curva que é a interseção da esfera
com o plano
. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais de linha e, possivelmente, de teoremas como o de Stokes para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é a interseção de uma esfera com um plano, o que resulta em um círculo. Portanto,
é um círculo com raio
, que vamos determinar.
Passo 3
Vamos encontrar o raio do círculo
. Sabemos que o raio da esfera é
. O plano
passa pelo centro da esfera, então a distância do centro ao plano é zero. Assim, o raio do círculo de interseção é o mesmo da esfera, ou seja,
.
Passo 4
Para calcular a integral de linha, podemos usar o teorema de Stokes. Este teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva.
Passo 5
Vamos identificar o campo vetorial
. Precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 7
Agora, aplicamos o teorema de Stokes:
onde
é uma superfície limitada por
e
é o vetor normal à superfície.
Passo 8
Escolhemos
como o disco no plano
com raio
. O vetor normal a esse plano é
.
Passo 9
Calculamos o produto escalar
:
Passo 10
A integral de superfície se torna:
A área do disco
é
.
Passo 11
Portanto, a integral de linha é:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a porsão do plano
no primeiro octante.
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva obtida pela interseção do plano
com os planos coordenados.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,