Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
onde é a curva que é a interseção da esfera com o plano . Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais de linha e, possivelmente, de teoremas como o de Stokes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Ela é a interseção de uma esfera com um plano, o que resulta em um círculo. Portanto, é um círculo com raio , que vamos determinar.

Passo 3

Vamos encontrar o raio do círculo . Sabemos que o raio da esfera é . O plano passa pelo centro da esfera, então a distância do centro ao plano é zero. Assim, o raio do círculo de interseção é o mesmo da esfera, ou seja, .

Passo 4

Para calcular a integral de linha, podemos usar o teorema de Stokes. Este teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva.

Passo 5

Vamos identificar o campo vetorial . Precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 7

Agora, aplicamos o teorema de Stokes:
onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal à superfície.

Passo 8

Escolhemos como o disco no plano com raio . O vetor normal a esse plano é .

Passo 9

Calculamos o produto escalar :

Passo 10

A integral de superfície se torna:
Á
A área do disco é .

Passo 11

Portanto, a integral de linha é:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a porsão do plano no primeiro octante.
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva obtida pela interseção do plano com os planos coordenados.
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .