Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a porsão do plano no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
onde e é o contorno da superfície , que é a parte do plano no primeiro octante. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de um contorno com uma integral de superfície sobre a própria superfície. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de e depois integrá-lo sobre .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de , que é denotado por . A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Aplicando isso à nossa :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
onde é o vetor normal à superfície . Para o plano , um vetor normal pode ser .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :
Mas, como no plano dado, substituímos:
Então, a integral de superfície fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da superfície , que é a parte do plano no primeiro octante. Essa região é um triângulo com vértices em , e . A área de um triângulo com base e altura é dada por:
Á

Passo 6

Finalmente, multiplicamos a integrand pela área:

Resposta

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Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva obtida pela interseção do plano com os planos coordenados.
Mostre que se é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em , então
com a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região vetor normal unitário exterior a e .
Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira de .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .