Calcule a integral
ointC F bul<=t d r
com C=partial S, em cada um dos seguintes casos: F=y^2 i+z^2 j+x^2 k, com S a porsão do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
ointC F cdot dr
onde F=y^2 i+z^2 j+x^2 k e C é o contorno da superfície S, que é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de um contorno com uma integral de superfície sobre a própria superfície. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de F e depois integrá-lo sobre S.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de F, que é denotado por nabla times F. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Aplicando isso à nossa F:
F = y^2 i + z^2 j + x^2 k
Calculando cada componente:
  • Componente i: partial x^2partial y - partial z^2partial z = 0 - 2z = -2z
  • Componente j: partial y^2partial z - partial x^2partial x = 0 - 2x = -2x
  • Componente k: partial z^2partial x - partial y^2partial y = 0 - 2y = -2y
Portanto,
nabla times F = -2z i - 2x j - 2y k

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície S. Para o plano x+y+z=1, um vetor normal pode ser n = lang<= 1, 1, 1 rang<=.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(-2z) cdot 1 + (-2x) cdot 1 + (-2y) cdot 1 = -2z - 2x - 2y = -2(x + y + z)
Mas, como x + y + z = 1 no plano dado, substituímos:
-2(1) = -2
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS -2 , dS

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da superfície S, que é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante. Essa região é um triângulo com vértices em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). A área de um triângulo com base b e altura h é dada por:
Área = 12 times b times h = 12 times 1 times 1 = 12 Á

Passo 6

Finalmente, multiplicamos a integrand pela área:
-2 times 12 = -1

Resposta

-1

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