Calcule a integral
com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a porsão do plano
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
onde
e
é o contorno da superfície
, que é a parte do plano
no primeiro octante. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de um contorno com uma integral de superfície sobre a própria superfície. Para isso, vamos precisar calcular o rotacional de
e depois integrá-lo sobre
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de
, que é denotado por
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Aplicando isso à nossa
:
Calculando cada componente:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
onde
é o vetor normal à superfície
. Para o plano
, um vetor normal pode ser
.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Mas, como
no plano dado, substituímos:
Então, a integral de superfície fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da superfície
, que é a parte do plano
no primeiro octante. Essa região é um triângulo com vértices em
,
e
. A área de um triângulo com base
e altura
é dada por:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos a integrand pela área:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva obtida pela interseção do plano
com os planos coordenados.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Mostre que se
é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em
, então
com
a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região
vetor normal unitário exterior a
e
.
Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos:
, com
a fronteira de
.
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,