Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva de duas maneiras: diretamente e usando o Teorema de Stokes. O conteúdo que vamos usar aqui é do cálculo vetorial, especificamente integração de campos vetoriais e o Teorema de Stokes. Precisamos entender como calcular integrais de linha e aplicar o teorema para relacionar essa circulação com uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer o cálculo direto da circulação. A circulação de ao longo de é dada pela integral de linha:
Onde e é a curva definida pela interseção das superfícies (uma esfera de raio 2) e com .
Passo 3
Vamos parametrizar a curva . Observando as equações, percebemos que sugere que estamos lidando com um cone. A interseção com a esfera nos dá uma curva circular.
Podemos usar coordenadas esféricas para facilitar. Seja o ângulo polar, então para o cone , temos . Assim, podemos parametrizar como:
com variando de a .
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Vamos agora calcular :
Multiplicando componente a componente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos de a :
Passo 7
Agora vamos usar o Teorema de Stokes para verificar o resultado. O Teorema de Stokes relaciona a circulação de ao longo de com a integral do rotacional de sobre uma superfície limitada por :
Primeiro, calculamos o rotacional de :
Passo 8
Como o rotacional de é zero, a integral de superfície também será zero:
Isso confirma que a circulação calculada diretamente está correta.
Resposta
A circulação do campo vetorial ao longo da curva é .