Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva de duas maneiras: diretamente e usando o Teorema de Stokes. O conteúdo que vamos usar aqui é do cálculo vetorial, especificamente integração de campos vetoriais e o Teorema de Stokes. Precisamos entender como calcular integrais de linha e aplicar o teorema para relacionar essa circulação com uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer o cálculo direto da circulação. A circulação de ao longo de é dada pela integral de linha:
Onde e é a curva definida pela interseção das superfícies (uma esfera de raio 2) e com .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Observando as equações, percebemos que sugere que estamos lidando com um cone. A interseção com a esfera nos dá uma curva circular.
Podemos usar coordenadas esféricas para facilitar. Seja o ângulo polar, então para o cone , temos . Assim, podemos parametrizar como:
com variando de a .

Passo 4

Agora, calculamos :

Passo 5

Vamos agora calcular :
Multiplicando componente a componente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos de a :

Passo 7

Agora vamos usar o Teorema de Stokes para verificar o resultado. O Teorema de Stokes relaciona a circulação de ao longo de com a integral do rotacional de sobre uma superfície limitada por :
Primeiro, calculamos o rotacional de :

Passo 8

Como o rotacional de é zero, a integral de superfície também será zero:
Isso confirma que a circulação calculada diretamente está correta.

Resposta

A circulação do campo vetorial ao longo da curva é .

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em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira de .
Calcule a integral
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Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .