Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
, com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a circulação de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Vamos fazer isso de duas maneiras:
- Cálculo direto.
- Usando o Teorema de Stokes.
A curva
é definida pela interseção das superfícies
e
, e temos também o vetor normal
. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como circulação, parametrização de curvas, e o Teorema de Stokes.
Passo 2
Cálculo Direto da Circulação
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A curva é a interseção de um cilindro
com o plano
.
-
Parametrização da Curva
: Podemos usar coordenadas polares para o cilindro:Substituindona equação do plano: Então, a parametrização deé: -
Derivada da Parametrização:Vamos precisar da derivada de
em relação a : -
Campo Vetorial na Parametrização:Substituindo
e na expressão de : -
Cálculo da Integral de Linha:A circulação é dada por:Vamos calcular o produto escalar
: Integrar isso dea pode ser complicado, mas observando que termos ímpares em se anulam no intervalo completo, a integral direta resulta em zero.
Passo 3
Usando o Teorema de Stokes
Agora, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral da rotacional de
sobre uma superfície
delimitada por
:
-
Calculando a Rotacional de
: A rotacional deé: Como, temos . Calculando as derivadas: -
Produto da Rotacional com o Vetor Normal
: Dado, temos: -
Calculando a Integral Superficial:A integral fica:Observando que a superfície
está no plano e que, devido à simetria, a integral de sobre a superfície fechada será zero (pois as contribuições positivas e negativas se cancelam).
Resposta
A circulação do campo vetorial
ao longo da curva
é igual a zero.