Calcule a circulação do campo vetorial F ao longo da curva C, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, F = y^2 i + z^2 j, com C a curva x^2 + y^2 = 9, 3y + 4z = 5 e n = (1/5)(3 j + 4 k).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva . Vamos fazer isso de duas maneiras:
  1. Cálculo direto.
  2. Usando o Teorema de Stokes.
A curva é definida pela interseção das superfícies e , e temos também o vetor normal . Para resolver, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como circulação, parametrização de curvas, e o Teorema de Stokes.

Passo 2

Cálculo Direto da Circulação
Primeiro, vamos parametrizar a curva . A curva é a interseção de um cilindro com o plano .
  1. Parametrização da Curva :
    Podemos usar coordenadas polares para o cilindro:
    Substituindo na equação do plano:
    Então, a parametrização de é:
  2. Derivada da Parametrização:
    Vamos precisar da derivada de em relação a :
  3. Campo Vetorial na Parametrização:
    Substituindo e na expressão de :
  4. Cálculo da Integral de Linha:
    A circulação é dada por:
    Vamos calcular o produto escalar :
    Integrar isso de a pode ser complicado, mas observando que termos ímpares em se anulam no intervalo completo, a integral direta resulta em zero.

Passo 3

Usando o Teorema de Stokes
Agora, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da rotacional de sobre uma superfície delimitada por :
  1. Calculando a Rotacional de :
    A rotacional de é:
    Como , temos .
    Calculando as derivadas:
  2. Produto da Rotacional com o Vetor Normal :
    Dado , temos:
  3. Calculando a Integral Superficial:
    A integral fica:
    Observando que a superfície está no plano e que, devido à simetria, a integral de sobre a superfície fechada será zero (pois as contribuições positivas e negativas se cancelam).

Resposta

A circulação do campo vetorial ao longo da curva é igual a zero.

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