Calcule a integral
onde
é a parte da curva
que liga
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é a parte da curva
que vai de
até
.
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha, que são usadas para somar quantidades ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e então integrar em relação a uma variável, geralmente
ou
se usarmos uma parametrização por parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como a curva é dada por
e vai de
a
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, temos:
onde
varia de
a
. Isso facilita a substituição na integral.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação ao parâmetro
para substituir na integral:
Isso nos permitirá expressar a integral original em termos de
.
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Aqui, substituímos todos os termos em
e
por
e
respectivamente, além das diferenças
e
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Distribuímos o
na última parte da expressão.
Passo 6
Vamos agora simplificar mais a expressão:
Agora, temos uma soma de quatro termos dentro da integral.
Passo 7
Observando os termos, notamos que a integral pode ser separada em quatro integrais mais simples:
Isso facilita o cálculo individual de cada parte.
Passo 8
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
-
Primeira Integral:Essa integral não possui uma antiderivada elementar, mas podemos deixá-la como está ou aproximar numericamente se necessário.
-
Segunda Integral:Aqui, usamos integração por partes onde
e . -
Terceira Integral:Fazemos uma substituição onde
, então . -
Quarta Integral:Similar à terceira integral, fazemos
, então .
Passo 9
Calculando a Segunda Integral usando integração por partes:
Escolha:
Então:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 10
Calculando a Terceira Integral com substituição:
Deixe
, então
. Mas temos
.
Substituindo:
Mas
, então:
Essa integral também não tem uma antiderivada elementar e é deixada ou aproximada numericamente.
Passo 11
Calculando a Quarta Integral de forma semelhante à terceira:
Deixe
, então
. Temos
.
Substituindo:
Sabendo que
:
Isso pode ser resolvido por integração por partes:
Escolha ,
. Então
,
.
Escolha
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
Somando todas as partes calculadas, a integral total é:
Como as integrais
e
não possuem soluções elementares, o resultado final é expresso dessa forma ou pode ser aproximado numericamente. Portanto, a resposta final é: