Calcule a integral integralC(e^y+x e^x) d x+(x+y) e^y d y onde C é a parte da curva y=x^20 que liga (0,0) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC(e^y+x e^x) d x+(x+y) e^y d y, onde C é a parte da curva y = x^20 que vai de (0,0) até (1,1).
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha, que são usadas para somar quantidades ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e então integrar em relação a uma variável, geralmente x ou t se usarmos uma parametrização por parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como a curva é dada por y = x^20 e vai de (0,0) a (1,1), podemos usar x como nosso parâmetro. Então, temos:
x = t y = t^20
onde t varia de 0 a 1. Isso facilita a substituição na integral.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de x e y em relação ao parâmetro t para substituir na integral:
dx = dxdt dt = 1 cdot dt = dt dy = dydt dt = 20 t^19 dt
Isso nos permitirá expressar a integral original em termos de t.

Passo 4

Vamos substituir x, y, dx e dy na integral original:
integralC(e^y+x e^x) d x + (x+y) e^y d y = integral0^1 (e^t^20 + t e^t) dt + (t + t^20) e^t^20 cdot 20 t^19 dt
Aqui, substituímos todos os termos em x e y por t e t^20 respectivamente, além das diferenças dx e dy.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^1 [e^t^20 + t e^t + 20 t^19(t + t^20) e^t^20] dt
Distribuímos o 20 t^19 na última parte da expressão.

Passo 6

Vamos agora simplificar mais a expressão:
integral0^1 [ e^t^20 + t e^t + 20 t^20 e^t^20 + 20 t^39 e^t^20 ] dt
Agora, temos uma soma de quatro termos dentro da integral.

Passo 7

Observando os termos, notamos que a integral pode ser separada em quatro integrais mais simples:
integral0^1 e^t^20 dt + integral0^1 t e^t dt + integral0^1 20 t^20 e^t^20 dt + integral0^1 20 t^39 e^t^20 dt
Isso facilita o cálculo individual de cada parte.

Passo 8

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
  1. Primeira Integral:
    integral0^1 e^t^20 dt
    Essa integral não possui uma antiderivada elementar, mas podemos deixá-la como está ou aproximar numericamente se necessário.
  2. Segunda Integral:
    integral0^1 t e^t dt
    Aqui, usamos integração por partes onde u = t e dv = e^t dt.
  3. Terceira Integral:
    integral0^1 20 t^20 e^t^20 dt
    Fazemos uma substituição onde u = t^20, então du = 20 t^19 dt.
  4. Quarta Integral:
    integral0^1 20 t^39 e^t^20 dt
    Similar à terceira integral, fazemos u = t^20, então du = 20 t^19 dt.

Passo 9

Calculando a Segunda Integral usando integração por partes:
Escolha:
u = t Rightarrow du = dt dv = e^t dt Rightarrow v = e^t
Então:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
[ t e^t - e^t ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = 0 - (-1) = 1

Passo 10

Calculando a Terceira Integral com substituição:
Deixe u = t^20, então du = 20 t^19 dt. Mas temos 20 t^20 e^t^20 dt = t cdot 20 t^19 e^u dt = t e^u du.
Substituindo:
integral0^1 20 t^20 e^t^20 dt = integralu=0^u=1 t e^u du
Mas t = u^1/20, então:
integral0^1 u^1/20 e^u du
Essa integral também não tem uma antiderivada elementar e é deixada ou aproximada numericamente.

Passo 11

Calculando a Quarta Integral de forma semelhante à terceira:
Deixe u = t^20, então du = 20 t^19 dt. Temos 20 t^39 e^t^20 dt = t^20 cdot 20 t^19 e^u dt = t^20 e^u du.
Substituindo:
integral0^1 20 t^39 e^t^20 dt = integralu=0^u=1 t^20 e^u du
Sabendo que t = u^1/20:
integral0^1 u^1 e^u du = integral0^1 u e^u du
Isso pode ser resolvido por integração por partes:
Escolha u = u, dv = e^u du. Então du = du, v = e^u.
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
[ u e^u - e^u ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = 0 - (-1) = 1

Resposta

Somando todas as partes calculadas, a integral total é:
integralC(e^y+x e^x) d x+(x+y) e^y d y = integral0^1 e^t^20 dt + 1 + integral0^1 u^1/20 e^u du + 1 = integral0^1 e^t^20 dt + integral0^1 u^1/20 e^u du + 2
Como as integrais integral0^1 e^t^20 dt e integral0^1 u^1/20 e^u du não possuem soluções elementares, o resultado final é expresso dessa forma ou pode ser aproximado numericamente. Portanto, a resposta final é:
integralC(e^y+x e^x) d x+(x+y) e^y d y = integral0^1 e^t^20 dt + integral0^1 t^1/20 e^t dt + 2

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