Estude a posição relativa de r e pi: r: x-2 y=3-2 z+y=2 x-z e pi: X=(1,4,0)+lambda(1,1,1)+mu(2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa estudar a posição relativa entre uma reta e um plano . Isso está na área de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar das equações da reta e do plano, e usar algumas técnicas para descobrir se a reta está contida no plano, se ela é paralela ao plano ou se intersecta o plano em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da reta r: x - 21 = y - 3-2 = z2 :
Esse é o formato das equações paramétricas da reta, onde podemos identificar um ponto pela qual a reta passa e um vetor diretor.

Passo 3

Identificando na equação da reta :
  • O ponto pela qual a reta passa é .
  • O vetor diretor é .

Passo 4

Agora, vamos olhar para a equação do plano pi: X = (1, 4, 0) + lambda(1, 1, 1) + mu(2, 1, 0) :
Essa é a forma paramétrica do plano, onde é um ponto no plano, e e são parâmetros que multiplicam os vetores diretores do plano.

Passo 5

Para descobrir a posição relativa entre a reta e o plano, a gente precisa ver se existe um ponto que está tanto na reta quanto no plano. Isso significa que vamos igualar as equações da reta e do plano e resolver para os parâmetros.

Passo 6

Vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 2 + t y = 3 - 2t z = 0 + 2t :
Onde é o parâmetro da reta.

Passo 7

Agora, vamos substituir esses valores na equação paramétrica do plano (2 + t, 3 - 2t, 2t) = (1 + lambda + 2mu, 4 + lambda + mu, 0 + lambda) :
2 + t = 1 + lambda + 2mu 3 - 2t = 4 + lambda + mu 2t = lambda
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da terceira equação, já sabemos que 2 + t = 1 + 2t + 2mu 3 - 2t = 4 + 2t + mu . Vamos substituir esse valor nas outras equações:

Passo 9

Resolvendo a primeira equação para 2 + t = 1 + 2t + 2mu 2mu = 2 + t - 1 - 2t 2mu = 1 - t mu = 1 - t2 :

Passo 10

Agora, substituímos 3 - 2t = 4 + 2t + 1 - t2 Mu na segunda equação:
[
3 - 2t = 4 + 2t + \frac{1 - t}{2} \
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:\
6 - 4t = 8 + 4t + 1 - t \
6 - 4t = 9 + 3t \
-4t - 3t = 9 - 6 \
-7t = 3 \
t = -\frac{3}{7}
]

Passo 11

Agora que temos lambda = 2t = 2 (-37) = -67 mu = 1 - t2 = 1 - (-37)2 = 1 + 372 = 1072 = 1014 = 57 , podemos encontrar e :

Passo 12

Com esses valores, vamos verificar o ponto de interseção substituindo x = 2 + t = 2 - 37 = 147 - 37 = 117 y = 3 - 2t = 3 - 2(-37) = 3 + 67 = 217 + 67 = 277 z = 2t = 2(-37) = -67 na equação da reta :

Resposta

A reta intercepta o plano no ponto .

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