Seja A=[cc1 & 2 -12 & x]. A matriz A é diagonalizável se:
a x=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz 1 & 2 -12 & x e precisamos descobrir para quais valores de essa matriz é diagonalizável. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes e autovalores.

Passo 2

Para saber se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Autovalores são valores escalares que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A - lambda I = 1 - lambda & 2 -12 & x - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(x - lambda) - (2 times -12)
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(x - lambda) + 1

Passo 4

Expandindo a expressão:
(1 - lambda)(x - lambda) = 1 cdot x - 1 cdot lambda - lambda cdot x + lambda^2 = x - (1 + x)lambda + lambda^2
Portanto:
det(A - lambda I) = x - (1 + x)lambda + lambda^2 + 1 = lambda^2 - (1 + x)lambda + (x + 1)

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - (1 + x)lambda + (x + 1) = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
lambda = (1 + x) pm raiz(1 + x)^2 - 4(x + 1)2

Passo 6

Calculando o discriminante De:
Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que ou que a multiplicidade algébrica dos autovalores seja igual à multiplicidade geométrica.

Passo 7

Vamos analisar os casos:
  1. Autovalores distintos ( ): Se a matriz tem dois autovalores diferentes, ela é diagonalizável.
  2. Autovalores iguais ( ): Precisamos verificar se a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Isso ocorre quando a matriz já está na forma diagonal ou pode ser diagonalizada.

Passo 8

Resolvendo x^2 - 2x - 3 = 0 :
(x - 3)(x + 1) = 0
Fatorando:
Então, ou .

Passo 9

Para De (opção a do enunciado), substituindo na equação do determinante:
Isso significa que os autovalores são complexos e, portanto, a matriz não é diagonalizável sobre os números reais.

Passo 10

Portanto, a matriz é diagonalizável para todos os valores de exceto quando , o que não ocorre para . No entanto, na verdade, a matriz não é diagonalizável quando .

Resposta

A matriz não é diagonalizável quando .

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