Seja
. A matriz
é diagonalizável se:
a
a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
e precisamos descobrir para quais valores de
essa matriz é diagonalizável. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes e autovalores.
Passo 2
Para saber se a matriz
é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Autovalores são valores escalares
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de
:
Passo 4
Expandindo a expressão:
Portanto:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Passo 6
Calculando o discriminante
:
Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que
ou que a multiplicidade algébrica dos autovalores seja igual à multiplicidade geométrica.
Passo 7
Vamos analisar os casos:
- Autovalores distintos (
): Se a matriz tem dois autovalores diferentes, ela é diagonalizável. - Autovalores iguais (
): Precisamos verificar se a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Isso ocorre quando a matriz já está na forma diagonal ou pode ser diagonalizada.
Passo 8
Resolvendo
:
Fatorando:
Então,
ou
.
Passo 9
Para
(opção a do enunciado), substituindo na equação do determinante:
Isso significa que os autovalores são complexos e, portanto, a matriz não é diagonalizável sobre os números reais.
Passo 10
Portanto, a matriz
é diagonalizável para todos os valores de
exceto quando
, o que não ocorre para
. No entanto, na verdade, a matriz não é diagonalizável quando
.
Resposta
A matriz
não é diagonalizável quando
.