Encontre o foco da parábola y=x^2+2 x+1.

Passo 1

Beleza, a gente tem a parábola y = x^2 + 2x + 1 e precisa encontrar o foco dela. Isso tá ligado ao estudo de funções quadráticas, especificamente sobre as características das parábolas. Pra resolver isso, vamos precisar colocar a equação da parábola na forma padrão e usar a fórmula que relaciona o coeficiente da equação com as coordenadas do foco.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação y = x^2 + 2x + 1 na forma padrão da parábola, que é y = a(x - h)^2 + k. Isso facilita identificar o vértice e, a partir daí, calcular o foco.

Passo 3

Para isso, completamos o quadrado:
y = x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x) + 1
= (x^2 + 2x + 1) + 1 - 1
= (x + 1)^2
Então, a forma padrão fica y = (x + 1)^2, que é igual a y = 1(x - (-1))^2 + 0.

Passo 4

Agora, identificamos os valores de h, k e a:
h = -1, k = 0, a = 1
O vértice da parábola é (h, k) = (-1, 0).

Passo 5

Para encontrar o foco, usamos a fórmula do foco para parábolas com a forma y = a(x - h)^2 + k:
Foco = (h, k + 14a)
Substituindo os valores que encontramos:
h = -1, k = 0, a = 1
Então:
Foco = (-1, 0 + 14 times 1) = (-1, 14)

Resposta

O foco da parábola y = x^2 + 2x + 1 é (-1, dfrac14).

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