Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 1raiz1+x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular . O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente mudanças de coordenadas para simplificar a integral. Vamos precisar converter para coordenadas polares, que facilitam o trabalho com integrais que têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As variáveis variam de 0 até , e para cada , varia de até . Isso descreve uma área no primeiro quadrante onde e .

Passo 3

Para converter para coordenadas polares, usamos as fórmulas:
x = r cos theta, y = r sin theta
E o diferencial de área vira .

Passo 4

Vamos determinar os novos limites em coordenadas polares. A condição vira . A linha em polares é . Como e , varia de 0 até .

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi4 integral0^2 1raiz1 + r^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em integral0^2 rraiz1 + r^2 , dr :
Fazemos a substituição , então ou .

Passo 7

Após a substituição, a integral vira:
12 integral1^5 1raizu , du = 12 [ 2raizu ]1^5 = raiz5 - 1

Passo 8

Agora, integramos em integral0^pi4 (raiz5 - 1) , dtheta = (raiz5 - 1) cdot pi4 :

Resposta

A integral vale .

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