Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular
. O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente mudanças de coordenadas para simplificar a integral. Vamos precisar converter para coordenadas polares, que facilitam o trabalho com integrais que têm simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As variáveis
variam de 0 até
, e para cada
,
varia de
até
. Isso descreve uma área no primeiro quadrante onde
e
.
Passo 3
Para converter para coordenadas polares, usamos as fórmulas:
E o diferencial de área
vira
.
Passo 4
Vamos determinar os novos limites em coordenadas polares. A condição
vira
. A linha
em polares é
. Como
e
,
varia de 0 até
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em
:
Fazemos a substituição
, então
ou
.
Passo 7
Após a substituição, a integral vira:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral vale
.