Esboce a região cuja área é dada pela integral integralpi4^3 pi4 integral1^2 r d r d theta e calcule-a.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para esboçarmos a região cuja área é dada pela integral integralpi4^3 pi4 integral1^2 r , dr , dtheta. Vamos usar coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender como essas integrais funcionam em coordenadas polares para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O ângulo theta varia de pi4 a 3pi4, e o raio r varia de 1 a 2. Isso significa que estamos olhando para uma “fatia” entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2, dentro desses ângulos específicos.

Passo 3

Para esboçar a região, desenhe dois círculos no plano polar: um com raio 1 e outro com raio 2. Em seguida, trace as linhas correspondentes aos ângulos pi4 e 3pi4. A área que queremos é a parte do anel entre esses dois círculos que está entre essas duas linhas de ângulo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área usando a integral fornecida. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
A = integraltheta1^theta2 integralrmin^rmax r , dr , dtheta
Aqui, theta1 = pi4, theta2 = 3pi4, rmin = 1 e rmax = 2.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a r:
integral1^2 r , dr = [ r^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa e resolvemos em relação a theta:
A = integralpi4^3 pi4 32 , dtheta = 32 [ theta ]pi4^3 pi4 = 32 ( 3pi4 - pi4 ) = 32 cdot pi2 = 3pi4

Resposta

A área da região é 3pi4.

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