Esboce a região cuja área é dada pela integral
e calcule-a.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para esboçarmos a região cuja área é dada pela integral
. Vamos usar coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender como essas integrais funcionam em coordenadas polares para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O ângulo
varia de
a
, e o raio
varia de 1 a 2. Isso significa que estamos olhando para uma “fatia” entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2, dentro desses ângulos específicos.
Passo 3
Para esboçar a região, desenhe dois círculos no plano polar: um com raio 1 e outro com raio 2. Em seguida, trace as linhas correspondentes aos ângulos
e
. A área que queremos é a parte do anel entre esses dois círculos que está entre essas duas linhas de ângulo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área usando a integral fornecida. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui,
,
,
e
.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa e resolvemos em relação a
:
Resposta
A área da região é
.