Derivadas parciais times continuidade
(2.3) [2, Ex.20, p.184] e 3, Ex.7, p.124] Determine as derivadas parciais fx e fy das funções
f(x, y)= cc x+y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0) g(x, y)= cc x^2 y sin 1x, & se x neq 0 0, & se x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais e continuidade! O enunciado nos dá duas funções, e , definidas de maneira diferente dependendo de ser ou não . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais , , e dessas funções. Para isso, precisamos entender como calcular derivadas parciais e verificar a continuidade das funções no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante. Por exemplo, f(x, y) = x + y^4x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0); 0, & se (x, y) = (0,0) é a derivada de em relação a , mantendo constante.
Vamos começar com a função :

Passo 3

Vamos encontrar fx = (1)(x^2 + y^2) - (x + y^4)(2x)(x^2 + y^2)^2 e fx = x^2 + y^2 - 2x(x + y^4)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy^4(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2 - 2xy^4(x^2 + y^2)^2 para fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h .
Derivada Parcial f(h, 0) = h + 0h^2 + 0 = hh^2 = 1h para h neq 0 :
Para fx(0,0) = limh to 0 1h - 0h = limh to 0 1h^2 , usamos a regra do quociente:
fy = (4y^3)(x^2 + y^2) - (x + y^4)(2y)(x^2 + y^2)^2
Simplificando:
fy = 4y^3(x^2 + y^2) - 2y(x + y^4)(x^2 + y^2)^2 = 4x^2 y^3 + 4y^5 - 2xy - 2y^5(x^2 + y^2)^2 = 4x^2 y^3 + 2y^5 - 2xy(x^2 + y^2)^2
Agora, para fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k , usamos a definição de derivada parcial:
f(0, k) = 0 + k^40 + k^2 = k^4k^2 = k^2 para k neq 0
Calculando fy(0,0) = limk to 0 k^2 - 0k = limk to 0 k = 0 :
Então,
Esse limite tende a infinito, ou seja, não existe. Portanto, não existe.
Derivada Parcial :
De maneira similar, para :
Simplificando:
Para :
Calculando :
Então,
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos analisar a função g(x, y) = x^2 y sin(1x), & se x neq 0; 0, & se x = 0 :
gx = 2x y sin(1x) + x^2 y cos(1x) (-1x^2)
Vamos encontrar gx = 2x y sin(1x) - y cos(1x) e gx(0, y) = limh to 0 g(h, y) - g(0, y)h = limh to 0 h^2 y sin(1h) - 0h = limh to 0 h y sin(1h) .
Derivada Parcial |h y sin(1h)| <= |h y| :
Para gy = x^2 sin(1x) , usamos a regra do produto:
gy(0, y) = limk to 0 g(0, k) - g(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Simplificando:
Para , usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que , então:
Como , . Portanto, .
Derivada Parcial :
Para :
Para :
Portanto, .

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x, y) = -x^2 + y^2 - 2xy^4(x^2 + y^2)^2, & se (x, y) neq (0,0); não existe, & se (x, y) = (0,0) ã
fy(x, y) = 4x^2 y^3 + 2y^5 - 2xy(x^2 + y^2)^2, & se (x, y) neq (0,0); 0, & se (x, y) = (0,0)
gx(x, y) = 2x y sin(1x) - y cos(1x), & se x neq 0; 0, & se x = 0
gy(x, y) = x^2 sin(1x), & se x neq 0; 0, & se x = 0

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