Derivadas parciais
continuidade
(2.3) [2, Ex.20, p.184] e 3, Ex.7, p.124] Determine as derivadas parciais
e
das funções
(2.3) [2, Ex.20, p.184] e 3, Ex.7, p.124] Determine as derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas parciais e continuidade! O enunciado nos dá duas funções,
e
, definidas de maneira diferente dependendo de
ser ou não
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
,
,
e
dessas funções. Para isso, precisamos entender como calcular derivadas parciais e verificar a continuidade das funções no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante. Por exemplo,
é a derivada de
em relação a
, mantendo
constante.
Vamos começar com a função
:
Passo 3
Vamos encontrar
e
para
.
Derivada Parcial
:
Para
, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, para
, usamos a definição de derivada parcial:
Calculando
:
Então,
Esse limite tende a infinito, ou seja, não existe. Portanto,
não existe.
Derivada Parcial
:
De maneira similar, para
:
Simplificando:
Para
:
Calculando
:
Então,
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função
:
Vamos encontrar
e
.
Derivada Parcial
:
Para
, usamos a regra do produto:
Simplificando:
Para
, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que
, então:
Como
,
. Portanto,
.
Derivada Parcial
:
Para
:
Para
:
Portanto,
.
Resposta
As derivadas parciais são: