Generalizações
(4.1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis w = x y z t e^(x y z t).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais de primeira ordem. A função que vamos analisar tem quatro variáveis: . Para encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis , , e , precisamos entender o conceito de derivada parcial e como aplicá-lo em funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis nos mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Para derivar em relação a , tratamos , e como constantes. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções e é:
Aqui, podemos considerar e .

Passo 4

Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usamos o mesmo procedimento:

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a , :

Passo 7

Por último, calculamos a derivada parcial em relação a , :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

Exercícios relacionados