Generalizações
(4.1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis
.
(4.1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais de primeira ordem. A função que vamos analisar tem quatro variáveis:
. Para encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis
,
,
e
, precisamos entender o conceito de derivada parcial e como aplicá-lo em funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis nos mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Para derivar em relação a
, tratamos
,
e
como constantes. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções
e
é:
Aqui, podemos considerar
e
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos o mesmo procedimento:
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada parcial em relação a
,
:
Passo 7
Por último, calculamos a derivada parcial em relação a
,
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: