Calcule a integral iterada.

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada .
Nesse problema, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla onde primeiro integramos em relação a de a e depois em relação a de a . Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração e entender como calcular integrais compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 4

Integrando a primeira parte:

Passo 5

Agora, integrando a segunda parte:

Passo 6

Somando as duas partes integradas, temos:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 7

Vamos separar novamente a integral em duas partes:

Passo 8

Integrando a primeira parte:

Passo 9

Integrando a segunda parte:

Resposta

A integral iterada é igual a .

Exercícios relacionados

Levando em conta os valores para as funções dados nas tabelas, faça o que se pede:
0 1 2 3 4 5
10 6 3 4 7 11
0 1 2 3 4 5
:—: :—: :—: :—: :—: :—: :—:
2 3 5 8 12 15
Calcule e
Calcule a integral curvilínea de ao longo dos caminhos e , bem como ao longo do caminho fechado , onde é a poligonal definida pelos pontos e , orientado de 0 a , e é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e , com mesma orientação.
Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o círculo .