Calcule a integral iterada. integral-3^3 integral0^pi / 2(y+y^2 cos x) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada .
Nesse problema, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla onde primeiro integramos em relação a de a e depois em relação a de a . Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração e entender como calcular integrais compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^pi / 2 (y + y^2 cos x) dx :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi / 2 y , dx + integral0^pi / 2 y^2 cos x , dx

Passo 4

Integrando a primeira parte:
integral0^pi / 2 y , dx = y integral0^pi / 2 dx = y [ x ]0^pi / 2 = y ( pi2 - 0 ) = pi2 y

Passo 5

Agora, integrando a segunda parte:
integral0^pi / 2 y^2 cos x , dx = y^2 integral0^pi / 2 cos x , dx = y^2 [ sin x ]0^pi / 2 = y^2 ( sin pi2 - sin 0 ) = y^2 (1 - 0) = y^2

Passo 6

Somando as duas partes integradas, temos:
pi2 y + y^2
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral-3^3 ( pi2 y + y^2 ) dy

Passo 7

Vamos separar novamente a integral em duas partes:
pi2 integral-3^3 y , dy + integral-3^3 y^2 , dy

Passo 8

Integrando a primeira parte:
pi2 integral-3^3 y , dy = pi2 [ y^22 ]-3^3 = pi2 ( 92 - 92 ) = pi2 times 0 = 0

Passo 9

Integrando a segunda parte:
integral-3^3 y^2 , dy = [ y^33 ]-3^3 = 273 - ( (-27)3 ) = 9 - (-9) = 18

Resposta

A integral iterada é igual a .

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