Calcule a integral curvilínea de ao longo dos caminhos e , bem como ao longo do caminho fechado , onde é a poligonal definida pelos pontos e , orientado de 0 a , e é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e , com mesma orientação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral curvilínea da função ao longo dos caminhos e , além do caminho fechado . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial e integrais de linha para resolver isso. Precisaremos parametrizar cada caminho e aplicar a fórmula da integral curvilínea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os caminhos e :
  • : É a poligonal que passa pelos pontos (ou ), (ou ) e , orientada de a .
  • : É a poligonal que passa pelos pontos , (ou ) e , também orientada de a .
Vamos dividir cada caminho em segmentos lineares para facilitar a parametrização.

Passo 3

Parametrizando :
tem dois segmentos:
  1. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  2. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
Parametrizando :
também tem dois segmentos:
  1. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  2. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Como , precisamos expressar em termos das parametrizações de .
Para o primeiro segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Para o segundo segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Integral total sobre :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral .
Para o primeiro segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Para o segundo segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Integral total sobre :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a integral ao longo do caminho fechado . Isso significa que percorremos e depois retornamos por na direção inversa.
A integral ao longo do caminho fechado será:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A integral curvilínea de ao longo dos caminhos é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral iterada.
Levando em conta os valores para as funções dados nas tabelas, faça o que se pede:
0 1 2 3 4 5
10 6 3 4 7 11
0 1 2 3 4 5
:—: :—: :—: :—: :—: :—: :—:
2 3 5 8 12 15
Calcule e
Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o círculo .
Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o contorno do quadrado de vértices .