Calcule a integral curvilínea de
ao longo dos caminhos
e
, bem como ao longo do caminho fechado
, onde
é a poligonal definida pelos pontos
e
, orientado de 0 a
, e
é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e
, com mesma orientação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral curvilínea da função
ao longo dos caminhos
e
, além do caminho fechado
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial e integrais de linha para resolver isso. Precisaremos parametrizar cada caminho e aplicar a fórmula da integral curvilínea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os caminhos
e
:
-
: É a poligonal que passa pelos pontos (ou ), (ou ) e , orientada de a . -
: É a poligonal que passa pelos pontos , (ou ) e , também orientada de a .
Vamos dividir cada caminho em segmentos lineares para facilitar a parametrização.
Passo 3
Parametrizando
:
-
De
a : - Ponto inicial:
- Ponto final:
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1.
- Ponto inicial:
-
De
a : - Ponto inicial:
- Ponto final:
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1.
- Ponto inicial:
Parametrizando
:
-
De
a : - Ponto inicial:
- Ponto final:
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1.
- Ponto inicial:
-
De
a : - Ponto inicial:
- Ponto final:
- Parametrização:
, onde varia de 0 a 1.
- Ponto inicial:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Como
, precisamos expressar
em termos das parametrizações de
.
Para o primeiro segmento de
(
):
Então,
A integral sobre
:
Para o segundo segmento de
(
):
Então,
A integral sobre
:
Integral total sobre
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
.
Para o primeiro segmento de
(
):
Então,
A integral sobre
:
Para o segundo segmento de
(
):
Então,
A integral sobre
:
Integral total sobre
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a integral ao longo do caminho fechado
. Isso significa que percorremos
e depois retornamos por
na direção inversa.
A integral ao longo do caminho fechado
será:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A integral curvilínea de
ao longo dos caminhos é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada.
Levando em conta os valores para as funções dados nas tabelas, faça o que se pede:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
10 | 6 | 3 | 4 | 7 | 11 |
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
:—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
|
2 | 3 | 5 | 8 | 12 | 15 |
Calcule
e
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o círculo
.
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o contorno do quadrado de vértices
.