Calcule a integral curvilínea de f(z) = y - x^2 ao longo dos caminhos C1 e C2, bem como ao longo do caminho fechado C = C1 ∪ -C2, onde C1 é a poligonal definida pelos pontos 0, i e 2+i, orientado de 0 a 2+i, e C2 é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e 2+i, com mesma orientação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral curvilínea da função ao longo dos caminhos e , além do caminho fechado . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial e integrais de linha para resolver isso. Precisaremos parametrizar cada caminho e aplicar a fórmula da integral curvilínea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os caminhos e :
  • : É a poligonal que passa pelos pontos (ou ), (ou ) e , orientada de a .
  • : É a poligonal que passa pelos pontos , (ou ) e , também orientada de a .
Vamos dividir cada caminho em segmentos lineares para facilitar a parametrização.

Passo 3

Parametrizando :
tem dois segmentos:
  1. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  2. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
Parametrizando :
também tem dois segmentos:
  1. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.
  2. De a :
    • Ponto inicial:
    • Ponto final:
    • Parametrização: , onde varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Como , precisamos expressar em termos das parametrizações de .
Para o primeiro segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Para o segundo segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Integral total sobre :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral .
Para o primeiro segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Para o segundo segmento de ( ):
Então,
A integral sobre :
Integral total sobre :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a integral ao longo do caminho fechado . Isso significa que percorremos e depois retornamos por na direção inversa.
A integral ao longo do caminho fechado será:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A integral curvilínea de ao longo dos caminhos é:

Exercícios relacionados