Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o círculo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a integral de ao longo do caminho , que é o círculo , é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy que nos ajuda a determinar integrais de funções analíticas em curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é analítica dentro e sobre o círculo . Uma função é analítica em uma região se não tem singularidades (pontos onde a função não é definida) nessa região.

Passo 3

Vamos identificar as singularidades de . A única singularidade ocorre quando o denominador é zero, ou seja, quando , então .

Passo 4

Agora, vamos ver se essa singularidade está dentro do círculo . O círculo é definido por . Calculando o módulo de , temos , que é maior que 1. Isso significa que a singularidade está fora do círculo .

Passo 5

Como não há singularidades de dentro ou sobre o círculo , a função é analítica nessa região. De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre uma curva fechada, então a integral dela ao longo dessa curva é zero.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Calcule a integral curvilínea de ao longo dos caminhos e , bem como ao longo do caminho fechado , onde é a poligonal definida pelos pontos e , orientado de 0 a , e é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e , com mesma orientação.
Calcule a integral iterada.
Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o contorno do quadrado de vértices .
Considere duas partículas e viajando segundo as trajetórias: e . As partículas colidem? Onde? Qual instante?