Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a integral de
ao longo do caminho
, que é o círculo
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy que nos ajuda a determinar integrais de funções analíticas em curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função
é analítica dentro e sobre o círculo
. Uma função é analítica em uma região se não tem singularidades (pontos onde a função não é definida) nessa região.
Passo 3
Vamos identificar as singularidades de
. A única singularidade ocorre quando o denominador é zero, ou seja, quando
, então
.
Passo 4
Agora, vamos ver se essa singularidade está dentro do círculo
. O círculo
é definido por
. Calculando o módulo de
, temos
, que é maior que 1. Isso significa que a singularidade
está fora do círculo
.
Passo 5
Como não há singularidades de
dentro ou sobre o círculo
, a função
é analítica nessa região. De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre uma curva fechada, então a integral dela ao longo dessa curva é zero.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral curvilínea de
ao longo dos caminhos
e
, bem como ao longo do caminho fechado
, onde
é a poligonal definida pelos pontos
e
, orientado de 0 a
, e
é a poligonal definida pelos pontos 0,2 e
, com mesma orientação.
Calcule a integral iterada.
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o contorno do quadrado de vértices
.
Considere duas partículas
e
viajando segundo as trajetórias:
e
. As partículas colidem? Onde? Qual instante?