Calcule a integral iterada:
integral-2^3 integral1^2 x^3 y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral iterada integral-2^3 integral1^2 x^3 y , dy , dx. Isso faz parte do estudo de integrais duplas em cálculo. O que vamos precisar fazer é calcular primeiro a integral interna em relação a e depois a integral externa em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral1^2 x^3 y , dy. Aqui, integral y , dy = y^22 é tratada como uma constante porque estamos integrando em relação a integral x^3 y , dy = x^3 cdot y^22 .
Para integrar em relação a , usamos a fórmula da integral de uma função do tipo :
Então, aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x^3 cdot (2)^22 - x^3 cdot (1)^22 = x^3 cdot 42 - x^3 cdot 12 que vão de 1 a 2:
2x^3 - 12x^3 = 4x^32 - 1x^32 = 3x^32
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos para a integral externa:
integral-2^3 32x^3 , dx = 32 integral-2^3 x^3 , dx
Para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 em relação a 32 cdot x^44 = 3x^48 , usamos a fórmula:
Então:

Passo 5

Por fim, avaliamos essa expressão nos limites de 38 (3^4 - (-2)^4) = 38 (81 - 16) = 38 times 65 = 1958 que vão de -2 a 3:

Resposta

O valor da integral iterada é 1958.

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