Dada a função periódica de período dada por , para . Determine a expansão em série de Fourier para .
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para encontrar a expansão em série de Fourier da função periódica com período , definida no intervalo . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Como a função é ímpar, só vamos precisar trabalhar com os senos na série.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função é ímpar, ou seja, . Isso significa que na série de Fourier, todos os termos de cosseno (que são pares) vão desaparecer, ficando apenas os termos de seno. A série de Fourier para uma função ímpar tem a forma:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes . A fórmula para calcular é:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto das duas funções é par. Portanto, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de 0 a :
Passo 4
Vamos calcular a integral usando o método de integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Passo 5
Avaliar os limites da primeira parte:
Calcular a segunda integral:
Portanto, a integral completa fica:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para :
Resposta
A expansão em série de Fourier da função com período é: