Dada a função periódica de período 2 L dada por f(x) = x, para -L <= x < l. Determine a expansão em série de Fourier para f.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para encontrar a expansão em série de Fourier da função periódica com período , definida no intervalo . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Como a função é ímpar, só vamos precisar trabalhar com os senos na série.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é ímpar, ou seja, . Isso significa que na série de Fourier, todos os termos de cosseno (que são pares) vão desaparecer, ficando apenas os termos de seno. A série de Fourier para uma função ímpar tem a forma:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . A fórmula para calcular é:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto das duas funções é par. Portanto, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de 0 a :

Passo 4

Vamos calcular a integral usando o método de integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:

Passo 5

Avaliar os limites da primeira parte:
Calcular a segunda integral:
Portanto, a integral completa fica:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A expansão em série de Fourier da função com período é:

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