Dada a função
, com
. Determine a série de Fourier de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
e com a propriedade de periodicidade
. O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e calcular os coeficientes de Fourier adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período
pode ser escrita como:
No nosso caso, a função é par (
), o que significa que todos os coeficientes
serão zero, já que a função não tem componentes ímpares. Portanto, a série simplifica para:
Passo 3
Sabemos que o período
da função é 2, já que
. Portanto, a expressão para os termos da série de Fourier fica:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
e
.
Passo 4
O coeficiente
é dado pela média da função no período, calculado por:
Vamos calcular essa integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. Como a função é par, temos:
Devido à paridade, podemos simplificar para:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes duas vezes. Vamos definir:
Primeira integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral
usando integração por partes novamente:
Definimos:
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:
Passo 9
Calculando nos limites:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Portanto, a integral definida é:
Passo 10
Voltando ao cálculo de
:
Passo 11
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função
com período 2 é:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Calcule a integral iterada:
Dada a função periódica de período
dada por
, para
. Determine a expansão em série de Fourier para
.