Dada a função , com . Determine a série de Fourier de .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida no intervalo e com a propriedade de periodicidade . O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e calcular os coeficientes de Fourier adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período pode ser escrita como:
No nosso caso, a função é par ( ), o que significa que todos os coeficientes serão zero, já que a função não tem componentes ímpares. Portanto, a série simplifica para:

Passo 3

Sabemos que o período da função é 2, já que . Portanto, a expressão para os termos da série de Fourier fica:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes e .

Passo 4

O coeficiente é dado pela média da função no período, calculado por:
Vamos calcular essa integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . Como a função é par, temos:
Devido à paridade, podemos simplificar para:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes duas vezes. Vamos definir:
Primeira integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral usando integração por partes novamente:
Definimos:
Aplicando a integração por partes:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:

Passo 9

Calculando nos limites:
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Portanto, a integral definida é:

Passo 10

Voltando ao cálculo de :

Passo 11

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função com período 2 é:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Calcule a integral iterada:
Dada a função periódica de período dada por , para . Determine a expansão em série de Fourier para .