Dada a função f(x) = x^(2), -1 <= x < 1, com f(x + 2) = f(x). Determine a série de Fourier de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida no intervalo e com a propriedade de periodicidade . O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e calcular os coeficientes de Fourier adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica de período pode ser escrita como:
No nosso caso, a função é par ( ), o que significa que todos os coeficientes serão zero, já que a função não tem componentes ímpares. Portanto, a série simplifica para:

Passo 3

Sabemos que o período da função é 2, já que . Portanto, a expressão para os termos da série de Fourier fica:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes e .

Passo 4

O coeficiente é dado pela média da função no período, calculado por:
Vamos calcular essa integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . Como a função é par, temos:
Devido à paridade, podemos simplificar para:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes duas vezes. Vamos definir:
Primeira integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral usando integração por partes novamente:
Definimos:
Aplicando a integração por partes:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 1:

Passo 9

Calculando nos limites:
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Portanto, a integral definida é:

Passo 10

Voltando ao cálculo de :

Passo 11

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função com período 2 é:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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