Calcule a integral iterada:
integral-3^3 integral0^1 x yx^2+1 d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada . Esse exercício pertence ao cálculo de integrais duplas, que envolve integrar funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular a integral interna em relação a e depois a integral externa em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna:
integral0^1 x yx^2+1 , dx
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Podemos fatorar o y integral0^1 xx^2+1 , dx para fora da integral, já que ele não depende de :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de substituição.
Seja , então a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral:
y integralu(0)^u(1) 1u cdot du2 = y2 integral1^2 1u , du
Calculamos os limites de integração: quando , e quando , .

Passo 6

A integral de y2 [ln u]1^2 = y2 (ln 2 - ln 1) = y2 ln 2 é , então:
Sabemos que , então a expressão simplifica para .

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-3^3 y2 ln 2 , dy = ln 22 integral-3^3 y , dy

Passo 8

Vamos calcular ln 22 times 0 = 0 . A função é uma função ímpar e estamos integrando em um intervalo simétrico em torno de zero. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

Resposta

A integral iterada é igual a .

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