Calcule a integral iterada:
Passo 1
Vamos resolver a integral iterada
. Esse exercício pertence ao cálculo de integrais duplas, que envolve integrar funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular a integral interna em relação a
e depois a integral externa em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Podemos fatorar o
para fora da integral, já que ele não depende de
:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar o método de substituição.
Seja
, então a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Calculamos os limites de integração: quando
,
e quando
,
.
Passo 6
A integral de
é
, então:
Sabemos que
, então a expressão simplifica para
.
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Vamos calcular
. A função
é uma função ímpar e estamos integrando em um intervalo simétrico em torno de zero. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
Resposta
A integral iterada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Dada a função periódica de período
dada por
, para
. Determine a expansão em série de Fourier para
.
Calcule a integral iterada:
Determine o volume do sólido dado:
Abaixo do plano e acima da região limitada por
.
Abaixo do plano
Encontre a série de Fourier das funções abaixo, e faça um esboço de seu gráfico.