Calcule a integral iterada:

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada . Esse exercício pertence ao cálculo de integrais duplas, que envolve integrar funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular a integral interna em relação a e depois a integral externa em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Podemos fatorar o para fora da integral, já que ele não depende de :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de substituição.
Seja , então a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral:
Calculamos os limites de integração: quando , e quando , .

Passo 6

A integral de é , então:
Sabemos que , então a expressão simplifica para .

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 8

Vamos calcular . A função é uma função ímpar e estamos integrando em um intervalo simétrico em torno de zero. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

Resposta

A integral iterada é igual a .

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Abaixo do plano e acima da região limitada por .
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