Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma integral tripla, que é usada em cálculo para calcular volumes ou outras grandezas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função
sobre os limites especificados para
,
e
. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral está estruturada da seguinte forma:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
, depois a
, e por último a
.
Passo 3
Começamos integrando com respeito a
. Note que a função
não depende de
, então a integração em
é simples. A integral de
de
a
em
fica:
Passo 4
Agora, nossa integral ficou reduzida para uma dupla:
Vamos integrar em relação a
agora. A função
ainda não depende de
, então podemos tratá-la como uma constante em relação a
.
Passo 5
Integramos com respeito a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe
, então
e quando
,
; quando
,
. A integral se torna:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 6
Agora, nossa integral ficou:
Essa �� uma integral simples de uma função racional. A integral de
é o logaritmo natural.
Passo 7
Calculamos a integral:
Avaliando nos limites:
Já que
.
Resposta
A integral tripla é igual a
.
Exercícios relacionados
Sendo
sen
, encontre as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Calcule as derivadas de primeira ordem da função
.
Calcule a integral tripla.
, onde
Determine a derivada em cada caso: