Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma integral tripla, que é usada em cálculo para calcular volumes ou outras grandezas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função sobre os limites especificados para , e . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral está estruturada da seguinte forma:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 3

Começamos integrando com respeito a . Note que a função não depende de , então a integração em é simples. A integral de de a em fica:

Passo 4

Agora, nossa integral ficou reduzida para uma dupla:
Vamos integrar em relação a agora. A função ainda não depende de , então podemos tratá-la como uma constante em relação a .

Passo 5

Integramos com respeito a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe , então e quando , ; quando , . A integral se torna:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 6

Agora, nossa integral ficou:
Essa �� uma integral simples de uma função racional. A integral de é o logaritmo natural.

Passo 7

Calculamos a integral:
Avaliando nos limites:
Já que .

Resposta

A integral tripla é igual a .

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Sendo sen , encontre as derivadas parciais de segunda ordem de .
Calcule as derivadas de primeira ordem da função .
Calcule a integral tripla. , onde
Determine a derivada em cada caso: