Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-z zy+1 d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma integral tripla, que é usada em cálculo para calcular volumes ou outras grandezas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função sobre os limites especificados para , e . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral está estruturada da seguinte forma:
integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-z zy+1 , dx , dz , dy
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 3

Começamos integrando com respeito a integral0^raiz1-z zy+1 , dx = zy+1 times raiz1-z - zy+1 times 0 = z raiz1-zy+1 . Note que a função não depende de , então a integração em é simples. A integral de de a em fica:

Passo 4

Agora, nossa integral ficou reduzida para uma dupla:
integral0^1 integral0^1 z raiz1-zy+1 , dz , dy
Vamos integrar em relação a agora. A função ainda não depende de , então podemos tratá-la como uma constante em relação a .

Passo 5

Integramos com respeito a integral0^1 z raiz1-zy+1 , dz :
integral1^0 (1 - u) raizuy+1 times (-du) = integral0^1 (1 - u) raizuy+1 , du
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: deixe 1y+1 integral0^1 (1 - u) u^1/2 , du = 1y+1 ( integral0^1 u^1/2 , du - integral0^1 u^3/2 , du ) , então integral0^1 u^1/2 , du = [ u^3/232 ]0^1 = 23 e quando integral0^1 u^3/2 , du = [ u^5/252 ]0^1 = 25 , 1y+1 ( 23 - 25 ) = 1y+1 times 10 - 615 = 415(y+1) ; quando , . A integral se torna:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 6

Agora, nossa integral ficou:
integral0^1 415(y+1) , dy
Essa �� uma integral simples de uma função racional. A integral de é o logaritmo natural.

Passo 7

Calculamos a integral:
integral0^1 415(y+1) , dy = 415 integral0^1 1y+1 , dy = 415 [ ln|y+1| ]0^1
Avaliando nos limites:
415 ( ln(2) - ln(1) ) = 415 ln(2)
Já que .

Resposta

A integral tripla é igual a .

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