Sendo sen , encontre as derivadas parciais de segunda ordem de .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis, nesse caso, e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a derivada em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de em relação a , denotada por , é como a função muda quando alteramos isoladamente, sem mexer em .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem de .
Derivada parcial de em relação a ( ):
Aqui, diferenciamos em relação a , tratando como constante, e fazemos o mesmo para .
Derivada parcial de em relação a ( ):
Analogamente, diferenciamos em relação a , tratando como constante.

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes ( ):
Aqui, derivamos em relação a para obter e em relação a para obter .

Passo 5

Derivada parcial de segunda ordem misturada, primeiro em relação a e depois a ( ):
Aqui, derivamos em relação a para obter e em relação a para obter .

Passo 6

Derivada parcial de segunda ordem misturada, primeiro em relação a e depois a ( ):
Note que, por igualdade das derivadas mistas, .

Passo 7

Derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes ( ):
Aqui, derivamos em relação a para obter e em relação a para obter .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de são:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas de primeira ordem da função .
Calcule as derivadas parciais de .
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral tripla. , onde