Sendo
sen
, encontre as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é a função
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis, nesse caso,
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a derivada em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é como a função
muda quando alteramos
isoladamente, sem mexer em
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem de
.
Derivada parcial de
em relação a
(
):
Aqui, diferenciamos
em relação a
, tratando
como constante, e fazemos o mesmo para
.
Derivada parcial de
em relação a
(
):
Analogamente, diferenciamos em relação a
, tratando
como constante.
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Derivada parcial de segunda ordem em relação a
duas vezes (
):
Aqui, derivamos
em relação a
para obter
e
em relação a
para obter
.
Passo 5
Derivada parcial de segunda ordem misturada, primeiro em relação a
e depois a
(
):
Aqui, derivamos
em relação a
para obter
e
em relação a
para obter
.
Passo 6
Derivada parcial de segunda ordem misturada, primeiro em relação a
e depois a
(
):
Note que, por igualdade das derivadas mistas,
.
Passo 7
Derivada parcial de segunda ordem em relação a
duas vezes (
):
Aqui, derivamos
em relação a
para obter
e
em relação a
para obter
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas de primeira ordem da função
.
Calcule as derivadas parciais de
.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral tripla.
, onde