Calcule a integral tripla. , onde

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Queremos calcular uma integral tripla da função sobre a região definida por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, e entender como determinar os limites de integração para as variáveis , e .

Passo 2

Vamos começar identificando os limites de integração para cada variável. A região está definida pelas desigualdades:
Isso significa que:
  • varia de 1 a 4.
  • Para cada valor de , varia de até 4.
  • Para cada par e , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, configuramos a integral tripla com base nesses limites:

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Podemos simplificar substituindo , o que nos leva a:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral tripla, ficamos com:
Podemos retirar a constante da integral:

Passo 6

Resolvemos a integral em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

Substituindo de volta, temos:
Portanto, o valor da integral tripla é .

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Calcule a integral iterada.
Sendo sen , encontre as derivadas parciais de segunda ordem de .
Determine a derivada em cada caso:
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