Calcule a integral tripla. integral triplaE zx^2+z^2 d V, onde
E=(x, y, z) mid 1 <= y <= 4, y <= z <= 4,0 <= x <= z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Queremos calcular uma integral tripla da função E = (x, y, z) mid 1 <= y <= 4, y <= z <= 4, 0 <= x <= z sobre a região definida por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, e entender como determinar os limites de integração para as variáveis , e .

Passo 2

Vamos começar identificando os limites de integração para cada variável. A região está definida pelas desigualdades:
Isso significa que:
  • varia de 1 a 4.
  • Para cada valor de , varia de até 4.
  • Para cada par e , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, configuramos a integral tripla com base nesses limites:
integral triplaE zx^2+z^2 , dV = integraly=1^4 integralz=y^4 integralx=0^z zx^2+z^2 , dx , dz , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^z zx^2 + z^2 , dx :
integral0^z zx^2 + z^2 , dx = tan^-1(xz) g|0^z = tan^-1(1) - tan^-1(0) = pi4 - 0 = pi4
Podemos simplificar substituindo , o que nos leva a:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral tripla, ficamos com:
integral1^4 integraly^4 pi4 , dz , dy
Podemos retirar a constante pi4 integral1^4 integraly^4 , dz , dy da integral:

Passo 6

Resolvemos a integral em relação a integraly^4 , dz = 4 - y :
pi4 integral1^4 (4 - y) , dy
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a integral1^4 (4 - y) , dy = 4y - y^22 g|1^4 :
(4 times 4 - 4^22) - (4 times 1 - 1^22) = (16 - 8) - (4 - 0,5) = 8 - 3,5 = 4,5 = 92
Calculando nos limites:

Resposta

Substituindo de volta, temos:
pi4 times 92 = 98 pi
Portanto, o valor da integral tripla é .

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