Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Queremos calcular uma integral tripla da função sobre a região definida por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, e entender como determinar os limites de integração para as variáveis , e .
Passo 2
Vamos começar identificando os limites de integração para cada variável. A região está definida pelas desigualdades:
Isso significa que:
varia de 1 a 4.
Para cada valor de , varia de até 4.
Para cada par e , varia de 0 até .
Passo 3
Agora, configuramos a integral tripla com base nesses limites:
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Podemos simplificar substituindo , o que nos leva a:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral interna na integral tripla, ficamos com:
integral1^4 integraly^4 pi4 , dz , dy
Podemos retirar a constante pi4 integral1^4 integraly^4 , dz , dy da integral:
Passo 6
Resolvemos a integral em relação a integraly^4 , dz = 4 - y :
pi4 integral1^4 (4 - y) , dy
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a integral1^4 (4 - y) , dy = 4y - y^22 g|1^4 :