Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
, destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
©
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
. Nosso objetivo é:
I. Desenhar o campo de direções dessa equação sem usar computador.
II. Identificar as soluções de equilíbrio.
III. Analisar o comportamento de e ver se isso depende do valor inicial
.
II. Identificar as soluções de equilíbrio.
III. Analisar o comportamento de
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo de direções, soluções de equilíbrio e analisar o comportamento assintótico das soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o campo de direções. O campo de direções é um gráfico que mostra a inclinação de
em cada ponto
. Para cada valor de
, calculamos
e desenhamos uma pequena linha com essa inclinação no ponto correspondente.
Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Fazendo isso para vários valores de
, conseguimos visualizar como as soluções vão se comportar ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são os valores de
onde
. Ou seja, onde a inclinação do campo de direções é zero.
Para nossa equação
:
Isso nos dá duas soluções de equilíbrio:
Esses são os pontos onde, se a solução começar ali, ela permanecerá constante, pois a taxa de variação é zero.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
e ver se isso depende do valor inicial
.
Primeiro, observamos as soluções de equilíbrio:
- Para
: , então . Isso significa que está aumentando. - Para
: , então . Isso significa que está diminuindo. - Para
: , então . Isso significa que está aumentando.
Com base nisso:
- Se
, vai aumentar e tenderá a conforme aumenta. - Se
, vai diminuir e tenderá a conforme aumenta. - Se
, vai aumentar e tenderá a conforme aumenta. - Se
ou , permanece constante.
Então, o comportamento de
conforme
tende ao infinito realmente depende do valor inicial
.
Resposta
Para a equação
:
I. O campo de direções é desenhado traçando pequenas linhas com inclinações positivas para
e
, e negativas para
.
II. As soluções de equilíbrio são
e
.
III. O limite
depende do valor inicial
:
- Se
ou , tende a . - Se
, tende a . - Se
ou , permanece constante.
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Calcule, usando a definição, a derivada da função
, para
; dado:
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e)
(e)
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Calcule a integral iterada