Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
© y^prime=y(y-10)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo é:
I. Desenhar o campo de direções dessa equação sem usar computador.
II. Identificar as soluções de equilíbrio.
III. Analisar o comportamento de e ver se isso depende do valor inicial .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo de direções, soluções de equilíbrio e analisar o comportamento assintótico das soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o campo de direções. O campo de direções é um gráfico que mostra a inclinação de em cada ponto . Para cada valor de , calculamos e desenhamos uma pequena linha com essa inclinação no ponto correspondente.
Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
Fazendo isso para vários valores de , conseguimos visualizar como as soluções vão se comportar ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são os valores de y(y - 10) = 0 onde . Ou seja, onde a inclinação do campo de direções é zero.
Para nossa equação :
Isso nos dá duas soluções de equilíbrio:
Esses são os pontos onde, se a solução começar ali, ela permanecerá constante, pois a taxa de variação é zero.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de e ver se isso depende do valor inicial .
Primeiro, observamos as soluções de equilíbrio:
  • Para : , então . Isso significa que está aumentando.
  • Para : , então . Isso significa que está diminuindo.
  • Para : , então . Isso significa que está aumentando.
Com base nisso:
  • Se , vai aumentar e tenderá a conforme aumenta.
  • Se , vai diminuir e tenderá a conforme aumenta.
  • Se , vai aumentar e tenderá a conforme aumenta.
  • Se ou , permanece constante.
Então, o comportamento de conforme tende ao infinito realmente depende do valor inicial .

Resposta

Para a equação :
I. O campo de direções é desenhado traçando pequenas linhas com inclinações positivas para e , e negativas para .
II. As soluções de equilíbrio são e .
III. O limite depende do valor inicial :
  • Se ou , tende a .
  • Se , tende a .
  • Se ou , permanece constante.

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