Calcule a integral iterada. integral1^3 integral0^1(1+4 x y) d x d y

Passo 1

Beleza, temos aqui uma integral iterada para calcular: integral1^3 integral0^1(1+4 x y) , dx , dy. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente das integrais duplas. Para resolver, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a função integral0^1 (1 + 4xy) , dx em relação a , mantendo como uma constante. A integral fica:
Isso significa que precisamos encontrar uma antiderivada em relação a .

Passo 3

Integrando termo a termo:
integral (1) , dx = x
integral 4xy , dx = 4y integral x , dx = 4y cdot x^22 = 2y x^2
Então, a antiderivada total é:
x + 2y x^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de [ x + 2y x^2 ]0^1 = (1 + 2y cdot 1^2) - (0 + 2y cdot 0^2) = 1 + 2y de 0 a 1:

Passo 5

Agora que já integramos em relação a integral1^3 (1 + 2y) , dy , a integral iterada fica:
Vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 6

Integrando integral (1) , dy = y em relação a integral 2y , dy = 2 cdot y^22 = y^2 :
y + y^2
Então, a antiderivada total é:

Passo 7

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de [ y + y^2 ]1^3 = (3 + 3^2) - (1 + 1^2) = (3 + 9) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 de 1 a 3:

Resposta

O valor da integral iterada é 10.

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