Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^1 raizs+t d s d t

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla: . Vamos usar conhecimentos de integrais duplas e algumas substituições para resolver isso. Precisamos entender como integrar uma função envolvendo a raiz quadrada de sobre o intervalo de 0 a 1 para ambas as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela nos permite calcular o volume sob uma superfície no espaço. Nesse caso, a função está sendo integrada sobre um quadrado no plano com e variando de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 raizs + t , ds . Assim, mantemos integralt^1 + t raizu , du constante e calculamos:
23u^3/2 |t^1 + t = 23[(1 + t)^3/2 - t^3/2]
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja , então . Quando , e quando , . Agora, a integral fica:
A integral de é , então:

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 23[(1 + t)^3/2 - t^3/2] dt :
23 ( integral0^1 (1 + t)^3/2 , dt - integral0^1 t^3/2 , dt )
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Para integral1^2 u^3/2 , du = 25u^5/2 |1^2 = 25[2^5/2 - 1^5/2] = 25[4raiz2 - 1] , fazemos a substituição integral0^1 t^3/2 , dt = 25t^5/2 |0^1 = 25[1 - 0] = 25 , então . Os limites passam a ser de 1 a 2:
Para :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
23 ( 25[4raiz2 - 1] - 25 ) = 23 cdot 25 [4raiz2 - 1 - 1] = 415 [4raiz2 - 2]
Simplificando:
415 cdot 4raiz2 - 415 cdot 2 = 16raiz215 - 815 = 16raiz2 - 815

Resposta

A integral iterada vale .

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