Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla: . Vamos usar conhecimentos de integrais duplas e algumas substituições para resolver isso. Precisamos entender como integrar uma função envolvendo a raiz quadrada de sobre o intervalo de 0 a 1 para ambas as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela nos permite calcular o volume sob uma superfície no espaço. Nesse caso, a função está sendo integrada sobre um quadrado no plano com e variando de 0 a 1.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . Assim, mantemos constante e calculamos:
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja , então . Quando , e quando , . Agora, a integral fica:
A integral de é , então:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 23[(1 + t)^3/2 - t^3/2] dt :
Para integral1^2 u^3/2 , du = 25u^5/2 |1^2 = 25[2^5/2 - 1^5/2] = 25[4raiz2 - 1] , fazemos a substituição integral0^1 t^3/2 , dt = 25t^5/2 |0^1 = 25[1 - 0] = 25 , então . Os limites passam a ser de 1 a 2: