Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retangulo R = {(x, y) | 0 <= x <= 1, -2 <= y <= 3}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume do sólido que está abaixo do plano e acima do retângulo . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a equação do plano de forma que possamos encontrar em função de e . A equação do plano é . Vamos isolar :

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a função sobre a área do retângulo . A integral dupla para o volume será:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Integrando:
Portanto:

Passo 7

Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^1 raizs+t d s d t
Calcule a integral iterada. integral1^3 integral0^1(1+4 x y) d x d y
Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Abaixo do cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima do disco x^2 + y^2 <= 4
Calcule a integral tripla. integral triplaE 6 x y d V, onde E está abaixo do plano z=1+x+y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1