Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retangulo R = {(x, y) | 0 <= x <= 1, -2 <= y <= 3}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume do sólido que está abaixo do plano e acima do retângulo . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a equação do plano de forma que possamos encontrar em função de e . A equação do plano é . Vamos isolar :

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a função sobre a área do retângulo . A integral dupla para o volume será:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Integrando:
Portanto:

Passo 7

Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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