Calcule a integral iterada:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral iterada . Esse exercício envolve integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis em uma região retangular. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em relação a uma variável de cada vez e usar propriedades básicas das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 4

Agora, resolvemos cada integral separadamente.
Para a primeira parte :
Como é constante, podemos tirar fora da integral:
Já que .

Passo 5

Para a segunda parte :
Aqui, é constante em relação a , então tiramos fora:

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 1 a 4:

Passo 8

Vamos separar essa integral também:

Passo 9

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Simplificando para , temos:

Passo 11

Agora, somamos as duas partes:

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados

Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
, em .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbolico e acima do quadrado .
Calcule a integral iterada.