Calcule a integral iterada:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral iterada
. Esse exercício envolve integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis em uma região retangular. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em relação a uma variável de cada vez e usar propriedades básicas das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Agora, resolvemos cada integral separadamente.
Para a primeira parte
:
Como
é constante, podemos tirar fora da integral:
Já que
.
Passo 5
Para a segunda parte
:
Aqui,
é constante em relação a
, então tiramos fora:
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 1 a 4:
Passo 8
Vamos separar essa integral também:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Simplificando
para
, temos:
Passo 11
Agora, somamos as duas partes:
Resposta
A integral iterada vale
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbolico
e acima do quadrado
.
Calcule a integral iterada.