Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, seguindo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, aquela que está dentro dos sinais de integral:
Aqui, vamos tratar como uma constante, já que estamos integrando em relação a .

Passo 3

Observamos que a função a ser integrada é . Para simplificar, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:
Note que o cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, integramos :
Substituindo :

Passo 6

Voltando aos limites da integral interna, de a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Aqui, fazemos a substituição:
Então, a integral fica:
Substituindo :
Segunda integral:

Passo 9

Voltando aos limites de 0 a 1 para cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 10

Combinando ambas as partes na expressão original:
Simplificando:

Resposta

A integral iterada vale .

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Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbolico e acima do quadrado .
Calcule a integral iterada:
Derive:
.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.