Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbolico e acima do quadrado .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integração dupla. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do quadrado . Para isso, vamos utilizar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como e . Isso significa que vamos integrar nas variáveis e dentro desses limites para encontrar o volume.
Passo 3
A fórmula para o volume sob a superfície sobre a região é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a , mantendo constante. Os limites para são de -1 a 1:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Calculando cada integral separadamente:
Então, somando:
Passo 6
Agora, integrando o resultado em relação a de 0 a 2: