Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbolico e acima do quadrado .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integração dupla. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do quadrado . Para isso, vamos utilizar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como e . Isso significa que vamos integrar nas variáveis e dentro desses limites para encontrar o volume.

Passo 3

A fórmula para o volume sob a superfície sobre a região é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a , mantendo constante. Os limites para são de -1 a 1:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
Então, somando:

Passo 6

Agora, integrando o resultado em relação a de 0 a 2:
Integrando termo a termo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral iterada:
Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Calcule a integral iterada.
Derive:
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