Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(d) , de a , ao longo da parábola .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente calcular a integral de linha para um campo vetorial . A curva é uma parábola dada por , indo do ponto até . Para isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular a integral de linha, que basicamente nos ajuda a somar os efeitos do campo ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Já que , podemos escolher como parâmetro. Então, deixamos , e assim . Nosso vetor posição fica . Como os pontos vão de a , varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a para encontrar . Vamos derivar cada componente:

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função . Temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Por fim, vamos integrar essa expressão de a :
Integrando termo a termo:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Responda detalhadamente as questões abaixo:
(a) Defina a transformada de Fourier e sua inversa. Em seguida, faça um esboço para explicar a transformação entre os domínios do tempo e da frequência.
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(b) cost,sent
Responda detalhadamente as questões abaixo:
© Quais são as aplicações relevantes da transformada de Fourier na Engenharia Mecânica?
Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(a) , onde é a função impulso unitário.