Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
(d)
, de
a
, ao longo da parábola
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente calcular a integral de linha para um campo vetorial
. A curva
é uma parábola dada por
, indo do ponto
até
. Para isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular a integral de linha, que basicamente nos ajuda a somar os efeitos do campo ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Já que
, podemos escolher
como parâmetro. Então, deixamos
, e assim
. Nosso vetor posição fica
. Como os pontos vão de
a
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
para encontrar
. Vamos derivar cada componente:
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na função
. Temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Por fim, vamos integrar essa expressão de
a
:
Integrando termo a termo:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
A integral de linha é
.