Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) :
(d) F(x, y) = (x^2 - 2xy)i + (y^2 - 2xy)j, de (-1, 1) a 1,1, ao longo da parábola y = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente calcular a integral de linha para um campo vetorial . A curva C é uma parábola dada por , indo do ponto (-1, 1) até 1,1. Para isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular a integral de linha, que basicamente nos ajuda a somar os efeitos do campo ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Já que , podemos escolher x como parâmetro. Então, deixamos , e assim . Nosso vetor posição fica . Como os pontos vão de (-1, 1) a 1,1, t varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de r(t) em relação a t para encontrar . Vamos derivar cada componente:

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função F(x, y). Temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Por fim, vamos integrar essa expressão de a :
Integrando termo a termo:
Calculando cada parte:
Para t = 1:
Para t = -1:
Então:

Resposta

A integral de linha é .

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