Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) :
(b) F(x, y) = (y / (x^2 + y^2), x / (x^2 + y^2)), r(t) = ( cost,sent 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Vamos lá! Temos que calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo da curva parametrizada por , onde . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar da fórmula da integral de linha para campos vetoriais e das derivadas das funções que parametrize a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por com :
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando . Assim, temos:
Calculamos as derivadas em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos , , e na fórmula da integral de linha:
Como , simplificamos:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Calculamos a integral de :
Aplicando os limites de integração de a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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