Responda detalhadamente as questões abaixo:
(a) Defina a transformada de Fourier e sua inversa. Em seguida, faça um esboço para explicar a transformação entre os domínios do tempo e da frequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir a transformada de Fourier e a sua inversa. Depois, a gente precisa fazer um esboço que mostre como essa transformação muda algo que está no domínio do tempo para o domínio da frequência. Então, essencialmente, vamos falar sobre como converter sinais do tempo para a frequência e vice-versa usando a transformada de Fourier. Para isso, vamos precisar entender as definições matemáticas dessas transformadas e visualizar como elas funcionam na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a Transformada de Fourier. Basicamente, ela é uma ferramenta matemática que transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência. Isso significa que, se temos um sinal que varia ao longo do tempo, a transformada de Fourier nos mostra de quais frequências esse sinal é composto.
A fórmula da transformada de Fourier é:
Aqui, é o sinal no tempo, é o sinal na frequência, é a frequência angular, e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos definir a Transformada Inversa de Fourier. Ela faz o caminho contrário: pega o sinal que está no domínio da frequência e o transforma de volta para o domínio do tempo. Isso é super útil quando queremos analisar ou manipular sinais em diferentes representações.
A fórmula da transformada inversa de Fourier é:
Aqui, é o sinal na frequência, e é o sinal de volta no tempo.

Passo 4

Agora, vamos fazer um esboço para explicar a transformação entre os domínios do tempo e da frequência. Pense no domínio do tempo como uma representação de como um sinal varia ao longo do tempo, como uma música tocando. A transformada de Fourier pega essa música e decompõe em suas diferentes notas (frequências) que a compõem. Assim, no domínio da frequência, você vê quais notas estão presentes e com que intensidade.
Visualmente:
  • Domínio do Tempo: Sinal original (ex: uma onda sonora).
  • Transformada de Fourier: Processo de decomposição.
  • Domínio da Frequência: Espectro de frequências que compõem o sinal.

Resposta

A transformada de Fourier converte um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, permitindo identificar as diferentes frequências que compõem o sinal. A transformada inversa de Fourier faz o caminho contrário, reconstruindo o sinal original a partir de seu espectro de frequências. O esboço mostra essa transformação como uma ponte entre como o sinal varia no tempo e as frequências que o constituem.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(b) cost,sent
F um campo vetorial em e um campo escalar em , mostre: a) b)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(d) , de a , ao longo da parábola .
Responda detalhadamente as questões abaixo:
© Quais são as aplicações relevantes da transformada de Fourier na Engenharia Mecânica?