Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=1+2 x y z e C: r(t)=(-2 t, 1+t, 2 t),-2 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. A gente precisa calcular a integral de linha , onde . O caminho é dado pela parametrização , para variando de a . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, estamos somando os valores da função ao longo do caminho , ponderados pelo comprimento infinitesimal . Para fazer isso, precisamos parametrizar a curva usando uma variável, que no caso é .

Passo 3

A parametrização dada é x(t) = -2t, y(t) = 1 + t, z(t) = 2t . Isso significa que:
O próximo passo é encontrar o vetor derivada , que nos ajuda a calcular .

Passo 4

Calculando a derivada de r'(t) = ddt(-2t, 1 + t, 2t) = (-2, 1, 2) em relação a :
Agora, precisamos calcular a magnitude desse vetor derivada, que é .

Passo 5

Calculando a magnitude de |r'(t)| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 :
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos a parametrização na função f(x(t), y(t), z(t)) = 1 + 2 cdot (-2t) cdot (1 + t) cdot (2t) = 1 + 2 cdot (-2t) cdot (1 + t) cdot 2t :
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Simplificando 1 + 2 cdot (-2t) cdot (1 + t) cdot 2t = 1 + 2 cdot (-4t^2) cdot (1 + t) = 1 - 8t^2(1 + t) :
1 - 8t^2 - 8t^3
Distribuindo o :
Então, .

Passo 8

Agora, montamos a integral de linha usando integralC f(x, y, z) , ds = integral-2^2 (1 - 8t^2 - 8t^3) cdot 3 , dt = 3 integral-2^2 (1 - 8t^2 - 8t^3) , dt e :

Passo 9

Vamos calcular a integral:
3 integral-2^2 (1 - 8t^2 - 8t^3) , dt = 3 [ integral-2^2 1 , dt - 8 integral-2^2 t^2 , dt - 8 integral-2^2 t^3 , dt ]
Calculando cada integral separadamente.

Passo 10

Calculando integral-2^2 1 , dt = [t]-2^2 = 2 - (-2) = 4 :
integral-2^2 t^2 , dt = [ t^33 ]-2^2 = 83 - ( -83 ) = 163
Calculando integral-2^2 t^3 , dt = [ t^44 ]-2^2 = 164 - 164 = 0 :
Calculando :

Passo 11

Substituindo os resultados na integral original:
3 [ 4 - 8 cdot 163 - 8 cdot 0 ] = 3 [ 4 - 1283 ] = 3 ( 12 - 1283 ) = 3 cdot ( -1163 ) = -116

Resposta

A integral de linha é igual a .

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