Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. O caminho
é dado pela parametrização
, para
variando de
a
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, estamos somando os valores da função
ao longo do caminho
, ponderados pelo comprimento infinitesimal
. Para fazer isso, precisamos parametrizar a curva
usando uma variável, que no caso é
.
Passo 3
A parametrização dada é
. Isso significa que:
O próximo passo é encontrar o vetor derivada
, que nos ajuda a calcular
.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, precisamos calcular a magnitude desse vetor derivada, que é
.
Passo 5
Calculando a magnitude de
:
Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos a parametrização na função
:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Simplificando
:
Distribuindo o
:
Então,
.
Passo 8
Agora, montamos a integral de linha usando
e
:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente.
Passo 10
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 11
Substituindo os resultados na integral original:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 4(a) em relação aos eixos
e
.
Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é
,
. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante
. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.