Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é
,
. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante
. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular os momentos de inércia de um arame que tem a forma de uma curva parametrizada por , onde
varia de
a
. A matéria aqui envolve cálculo de momentos de inércia para curvas no espaço, e vamos precisar usar integrais e um pouco de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo. Para um arame com densidade linear constante
, o momento de inércia em relação ao eixo
é dado por:
E da mesma forma para os outros eixos:
Aqui,
representa um pequeno elemento de comprimento ao longo do arame.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma expressão para
. Como a curva está parametrizada por
, temos que:
Vamos calcular as derivadas de
,
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular cada momento de inércia separadamente.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
A primeira integral:
Então:
A segunda integral:
Passo 7
Somando as duas integrais:
Multiplicando pela constante
:
Passo 8
Repetimos o mesmo processo para
e
.
Para
:
A integral de também resulta em
, então:
Para
:
Simplificando:
Então:
Resposta
Os momentos de inércia do arame em relação aos eixos
,
e
são:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.