Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 3 t), 0 <= t <= 2 pi. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante k > 0. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular os momentos de inércia de um arame que tem a forma de uma curva parametrizada por , onde varia de a . A matéria aqui envolve cálculo de momentos de inércia para curvas no espaço, e vamos precisar usar integrais e um pouco de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo. Para um arame com densidade linear constante , o momento de inércia em relação ao eixo é dado por:
E da mesma forma para os outros eixos:
Aqui, representa um pequeno elemento de comprimento ao longo do arame.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma expressão para . Como a curva está parametrizada por , temos que:
Vamos calcular as derivadas de , e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular cada momento de inércia separadamente.
Primeiro, para :
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
A primeira integral:
Então:
A segunda integral:

Passo 7

Somando as duas integrais:
Multiplicando pela constante :

Passo 8

Repetimos o mesmo processo para e .
Para :
A integral de também resulta em , então:
Para :
Simplificando:
Então:

Resposta

Os momentos de inércia do arame em relação aos eixos , e são:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=1+2 x y z e C: r(t)=(-2 t, 1+t, 2 t),-2 <= t <= 2.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=x sen z e C: r(t)=(3 sen t, 3 cos t, t), 0 <= t <= pi.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=x e^z+y^2 e C: r(t)=(-t, 2 t, t), 0 <= t <= 2.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x y cos z e C: r(t)=(sen t, cos t, t), 0 <= t <= 3 pi.