Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=x e^z+y^2 e C: r(t)=(-t, 2 t, t), 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha que envolve cálculo multivariado. O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função ao longo da curva definida por para entre 0 e 2. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização da curva r(t) = (-t, 2t, t) r'(t) = ( ddt(-t), ddt(2t), ddt(t) ) = (-1, 2, 1) em relação a . Isso nos dá o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, calculamos o módulo do vetor derivada | r'(t) | = raiz(-1)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 , que representa a velocidade ao longo da curva.

Passo 4

Substituímos a parametrização f(r(t)) = f(-t, 2t, t) = (-t) e^t + (2t)^2 = -t e^t + 4t^2 na função para expressá-la em termos de .

Passo 5

Agora, escrevemos a integral de linha usando a fórmula:
integralC f(x, y, z) , ds = integrala^b f(r(t)) | r'(t) | , dt
Substituindo os valores que encontramos:
integral0^2 (-t e^t + 4t^2) cdot raiz6 , dt = raiz6 integral0^2 (-t e^t + 4t^2) , dt

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
raiz6 ( integral0^2 -t e^t , dt + integral0^2 4t^2 , dt )
Primeiro, calculamos integral -t e^t , dt = -t e^t + integral e^t , dt = -t e^t + e^t + C . Usamos integração por partes:
[ -2 e^2 + e^2 ] - [ -0 e^0 + e^0 ] = (-e^2) - (1) = -e^2 - 1
Agora, avaliamos de 0 a 2:
integral 4t^2 , dt = 4 cdot t^33 = 43 t^3
Para a segunda integral:
43 (2)^3 - 43 (0)^3 = 323
Avaliando de 0 a 2:

Passo 7

Agora, somamos os resultados das duas integrais e multiplicamos pelo raiz6 ( -e^2 - 1 + 323 ) = raiz6 ( -3e^2 - 3 + 323 ) = raiz6 ( -3e^2 + 293 ) :
raiz63 (29 - 3e^2)
Simplificando:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 3 t), 0 <= t <= 2 pi. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante k > 0. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos x, y e z.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=1+2 x y z e C: r(t)=(-2 t, 1+t, 2 t),-2 <= t <= 2.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x y cos z e C: r(t)=(sen t, cos t, t), 0 <= t <= 3 pi.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=y cos z e C: r(t)=(3 sen t, 3 cos t, t), 0 <= t <= pi.