Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de linha que envolve cálculo multivariado. O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função
ao longo da curva
definida por
para
entre 0 e 2. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha para funções escalares.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização da curva
em relação a
. Isso nos dá o vetor velocidade da curva.
Passo 3
Agora, calculamos o módulo do vetor derivada
, que representa a velocidade ao longo da curva.
Passo 4
Substituímos a parametrização
na função
para expressá-la em termos de
.
Passo 5
Agora, escrevemos a integral de linha usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, calculamos
. Usamos integração por partes:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Para a segunda integral:
Avaliando de 0 a 2:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das duas integrais e multiplicamos pelo
:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é
,
. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante
. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.