Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=x sen z e C: r(t)=(3 sen t, 3 cos t, t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular a integral de linha integralC f(x, y, z) , ds, onde e a curva f(x, y, z) = x sen z é dada por , com C variando de r(t) = (3 sen t, 3 cos t, t) a t. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a integral. Como a curva C está parametrizada por r(t), vamos expressar f em termos de t. Substituindo as componentes de r(t) na função f(x, y, z):

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r'(t):

Passo 4

Calculamos a magnitude de r'(t), que representa o diferencial de arco ds:

Passo 5

Agora, montamos a integral de linha em termos de t:

Passo 6

Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Assim,

Passo 7

Substituindo de volta na integral original:
3raiz10 cdot pi2 = 3piraiz102

Resposta

A integral de linha é dfrac3,pi,raiz102.

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Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 4(a) em relação aos eixos x e y.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y) d s, em que f(x, y)=x-5 x y^2 e C: r(t)=(1-t, 2 t),-1 <= t <= 2.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, em que f(x, y, z)=1+2 x y z e C: r(t)=(-2 t, 1+t, 2 t),-2 <= t <= 2.
Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 3 t), 0 <= t <= 2 pi. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante k > 0. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos x, y e z.