Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular a integral de linha
, onde e a curva
é dada por , com
variando de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a integral. Como a curva
está parametrizada por
, vamos expressar
em termos de
. Substituindo as componentes de
na função
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 4
Calculamos a magnitude de
, que representa o diferencial de arco
:
Passo 5
Agora, montamos a integral de linha em termos de
:
Passo 6
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Assim,
Passo 7
Substituindo de volta na integral original:
Resposta
A integral de linha é
.