Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular a integral de linha
, onde e a curva
é dada por , com
variando de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a integral. Como a curva
está parametrizada por
, vamos expressar
em termos de
. Substituindo as componentes de
na função
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 4
Calculamos a magnitude de
, que representa o diferencial de arco
:
Passo 5
Agora, montamos a integral de linha em termos de
:
Passo 6
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Assim,
Passo 7
Substituindo de volta na integral original:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 4(a) em relação aos eixos
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é
,
. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante
. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos
e
.