Calcule a integral de linha dada:
, em que
sen
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de linha! A gente tem que calcular a integral de ao longo da curva
definida por
para
entre 0 e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A função
nos dá as coordenadas
e
em termos de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos ajuda a calcular o diferencial de comprimento
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o módulo de
, que representa a taxa de variação do comprimento ao longo da curva:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na integral de linha:
Substituindo
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Então:
Avaliado de 0 a
:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa
.
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 4(a) em relação aos eixos
e
.