Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y) d s, em que f(x, y)=2 x sen y e C: r(t)=(2 t, t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha! A gente tem que calcular a integral de ao longo da curva definida por para entre 0 e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva x(t) = 2t . A função y(t) = t nos dá as coordenadas e em termos de . Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r'(t) = ( dxdt, dydt ) = (2, 1) em relação a , que é . Isso nos ajuda a calcular o diferencial de comprimento :

Passo 4

Em seguida, calculamos o módulo de | r'(t) | = raiz(2)^2 + (1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 , que representa a taxa de variação do comprimento ao longo da curva:

Passo 5

Agora, substituímos integralC f(x, y) , ds = integral0^pi f(2t, t) cdot | r'(t) | , dt , f(2t, t) = 2(2t) cdot sen(t) = 4t cdot sen(t) e integral0^pi 4t cdot sen(t) cdot raiz5 , dt = 4raiz5 integral0^pi t cdot sen(t) , dt na integral de linha:
Substituindo :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde escolhemos:
u = t Rightarrow du = dt
Aplicando a fórmula:
dv = sen(t) , dt Rightarrow v = -cos(t)
Então:
Avaliado de 0 a integral u , dv = uv - integral v , du :
Multiplicando pelo fator integral t cdot sen(t) , dt = -t cdot cos(t) + integral cos(t) , dt = -t cdot cos(t) + sen(t) :
[ -pi cdot cos(pi) + sen(pi) ] - [ -0 cdot cos(0) + sen(0) ] = -pi cdot (-1) + 0 - (0 + 0) = pi

Resposta

A integral de linha vale .

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d f(x) = x^2 - 1 e g(x) = x + 1
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y) d s, em que f(x, y)=x-5 x y^2 e C: r(t)=(1-t, 2 t),-1 <= t <= 2.
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