Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa
. Isso está dentro do estudo de Cálculo, especificamente na parte de integrais múltiplas e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas lisas, parametrização de curvas e como calcular a integral ao longo delas.
Passo 2
Primeiro, uma curva lisa
no plano ou no espaço é basicamente um caminho que é suave, ou seja, sem cantos ou quebras. Matemáticamente, isso significa que podemos descrever
usando uma função vetorial contínua e diferenciável.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
. Isso significa que vamos definir uma função
que descreve a posição de pontos na curva conforme o parâmetro
varia em um intervalo
. Por exemplo,
no plano ou
no espaço.
Passo 4
Agora, considere uma função real
que queremos integrar ao longo da curva
. A integral de linha dessa função é, basicamente, uma soma ponderada dos valores de
em cada ponto da curva, multiplicados pelo comprimento infinitesimal da curva naquele ponto.
Passo 5
Para formalizar isso, usamos o conceito de diferencial de arco
, que representa um pequeno trecho da curva. A integral de linha é então definida como:
Aqui,
é a norma do vetor derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva, essencial para calcular o comprimento.
Passo 6
Essa definição nos permite calcular a integral de
ao longo de qualquer curva lisa
, desde que possamos parametrizar
de forma adequada e calcular a derivada da parametrização.
Resposta
A integral de linha de uma função real
sobre uma curva lisa
é definida por
Exercícios relacionados
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo
é um caso particular deste, quando uma das funções é a função
.):
e o eixo
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
sen
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.