Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa . Isso está dentro do estudo de Cálculo, especificamente na parte de integrais múltiplas e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas lisas, parametrização de curvas e como calcular a integral ao longo delas.

Passo 2

Primeiro, uma curva lisa no plano ou no espaço é basicamente um caminho que é suave, ou seja, sem cantos ou quebras. Matemáticamente, isso significa que podemos descrever usando uma função vetorial contínua e diferenciável.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Isso significa que vamos definir uma função que descreve a posição de pontos na curva conforme o parâmetro varia em um intervalo . Por exemplo, no plano ou no espaço.

Passo 4

Agora, considere uma função real que queremos integrar ao longo da curva . A integral de linha dessa função é, basicamente, uma soma ponderada dos valores de em cada ponto da curva, multiplicados pelo comprimento infinitesimal da curva naquele ponto.

Passo 5

Para formalizar isso, usamos o conceito de diferencial de arco , que representa um pequeno trecho da curva. A integral de linha é então definida como:
Aqui, é a norma do vetor derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva, essencial para calcular o comprimento.

Passo 6

Essa definição nos permite calcular a integral de ao longo de qualquer curva lisa , desde que possamos parametrizar de forma adequada e calcular a derivada da parametrização.

Resposta

A integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa é definida por

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Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
d f(x) = x^2 - 1 e g(x) = x + 1
Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = -4 + x^2 e o eixo x.
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