Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
d f(x) = x^2 - 1 e g(x) = x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área entre os gráficos das funções e . Esse tipo de problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais definidas para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar achar os pontos de interseção das duas funções e depois calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver . Isso nos dará os limites de integração.
Então, igualando as funções:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para resolver para :
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Calculando o discriminante:

Passo 5

Agora, encontramos as raízes:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Com os pontos de interseção e , agora vamos determinar qual função está por cima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre -1 e 2, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 7

Agora, podemos montar a integral que representa a área entre as duas curvas de a :
Á
Substituindo as funções:
Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 2:
Á

Passo 9

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os dois resultados:
Á

Resposta

A área entre os gráficos das funções e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a área entre o gráfico das funções abaixo (Note que o cálculo da área entre o gráfico de uma função e o eixo x é um caso particular deste, quando uma das funções é a função y = 0.):
f(x) = -4 + x^2 e o eixo x.
Calcule as integrais definidas abaixo:
(b) integral1^2(d xx^6)
Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa C.
Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y) d s, em que f(x, y)=2 x sen y e C: r(t)=(2 t, t), 0 <= t <= pi.