Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y) d s, em que f(x, y)=x-5 x y^2 e C: r(t)=(1-t, 2 t),-1 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC f(x, y) , ds, onde f(x, y) = x - 5xy^2 e a curva C é dada por r(t) = (1 - t, 2t) com -1 <= t <= 2. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva C e como aplicar a fórmula para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Ela serve para somar uma função ao longo de uma curva no plano. Basicamente, estamos acumulando valores da função f(x, y) conforme nos movemos ao longo da curva C.

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva C. A parametrização já foi dada como r(t) = (1 - t, 2t), onde t varia de -1 a 2. Isso significa que, conforme t varia nesse intervalo, o ponto (x, y) percorre a curva C.

Passo 4

Agora, vamos expressar f(x, y) em termos de t usando a parametrização. Substituindo x = 1 - t e y = 2t na função:
f(x, y) = (1 - t) - 5(1 - t)(2t)^2
Vamos simplificar isso:
f(t) = (1 - t) - 5(1 - t)(4t^2) = (1 - t) - 20t^2(1 - t)

Passo 5

Precisamos calcular o elemento diferencial de arco ds. Para isso, encontramos a derivada de r(t):
r'(t) = ( ddt(1 - t), ddt(2t) ) = (-1, 2)
O comprimento do vetor derivada é:
|r'(t)| = raiz(-1)^2 + (2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Portanto, ds = |r'(t)| , dt = raiz5 , dt.

Passo 6

Agora, colocamos tudo na fórmula da integral de linha:
integralC f(x, y) , ds = integral-1^2 f(t) cdot |r'(t)| , dt = raiz5 integral-1^2 [ (1 - t) - 20t^2(1 - t) ] dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - t) - 20t^2(1 - t) = (1 - t)(1 - 20t^2) = 1 - t - 20t^2 + 20t^3

Passo 7

Vamos agora integrar termo a termo:
raiz5 integral-1^2 (1 - t - 20t^2 + 20t^3) , dt
A integral se torna:
raiz5 [ integral-1^2 1 , dt - integral-1^2 t , dt - 20 integral-1^2 t^2 , dt + 20 integral-1^2 t^3 , dt ]
Calculando cada parte:
integral-1^2 1 , dt = [t]-1^2 = 2 - (-1) = 3
integral-1^2 t , dt = [ t^22 ]-1^2 = 42 - 12 = 32
integral-1^2 t^2 , dt = [ t^33 ]-1^2 = 83 - ( -13 ) = 93 = 3
integral-1^2 t^3 , dt = [ t^44 ]-1^2 = 164 - 14 = 154

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na expressão:
raiz5 [ 3 - 32 - 20 cdot 3 + 20 cdot 154 ] = raiz5 [ 3 - 1,5 - 60 + 75 ]
Vamos calcular dentro dos colchetes:
3 - 1,5 = 1,5
1,5 - 60 = -58,5
-58,5 + 75 = 16,5
Portanto:
raiz5 cdot 16,5 = 16,5raiz5

Resposta

A integral de linha é 16,5, raiz5.

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