Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
e a curva
é dada por
com
. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva
e como aplicar a fórmula para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Ela serve para somar uma função ao longo de uma curva no plano. Basicamente, estamos acumulando valores da função
conforme nos movemos ao longo da curva
.
Passo 3
Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva
. A parametrização já foi dada como
, onde
varia de
a
. Isso significa que, conforme
varia nesse intervalo, o ponto
percorre a curva
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
usando a parametrização. Substituindo
e
na função:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Precisamos calcular o elemento diferencial de arco
. Para isso, encontramos a derivada de
:
O comprimento do vetor derivada é:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, colocamos tudo na fórmula da integral de linha:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Vamos agora integrar termo a termo:
A integral se torna:
Calculando cada parte:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na expressão:
Vamos calcular dentro dos colchetes:
Portanto:
Resposta
A integral de linha é
.
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Calcule a integral de linha dada:
, em que
sen
e
.
Escreva a definição de integral de linha de uma função real sobre uma curva lisa
.
Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 4(a) em relação aos eixos
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.